Niveau exercices

[détente]_JFF_Gymnastique algébrique_21

Posté par
mikayaou 07-07-08 à 00:11

Bonjour,

Une tite JFF pour cette île qui vivote doucement...

Citation :

Vous connaissez le développement en série entière de ln(1+x) :

$4$\red \forall x\in]-1,1],\, \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\infty}$ $5$\red\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$

Ainsi, pour x = 1, on a :

$4$ \\ln(2)=\sum_{n=1}^{+\infty}$ $5$ \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

$4$ \\ln(2) =$ $5$ \ 1\ -\ \frac{1}{2}\ +\ \frac{1}{3}\ -\ \frac{1}{4}\ +\ \frac{1}{5}\ -\frac{1}{6}\ +\ \frac{1}{7}\ -\ \frac{1}{8}\ +\ \frac{1}{9}\ -\ \frac{1}{10}\ +\ ...$

On multiplie par 2

$4$ \\2ln(2) =$ $5$ \ 2\ -\ \frac{2}{2}\ +\ \frac{2}{3}\ -\ \frac{2}{4}\ +\ \frac{2}{5}\ -\frac{2}{6}\ +\ \frac{2}{7}\ -\ \frac{2}{8}\ +\ \frac{2}{9}\ -\ \frac{2}{10}\ +\ ...$

$4$ \\2ln(2) =$ $5$ \ 1\ +\ \frac{2}{3}\ -\ \frac{1}{2}\ +\ \frac{2}{5}\ -\frac{1}{3}\ +\ \frac{2}{7}\ -\ \frac{1}{4}\ +\ \frac{2}{9}\ -\ \frac{1}{5}\ +\ ...$

On regroupe les termes ayant même dénominateur; pour cela, prenons les termes de dénominateur k:
¤ si k est impair, il va apparaitre dans la somme 2/k et -1/k, et donc, en regroupant, +1/k
¤ si k est pair, il va juste apparaitre -1/k

Ainsi:

$4$ \\2ln(2) =$ $5$ \ 1\ -\ \frac{1}{2}\ +\ \frac{1}{3}\ -\ \frac{1}{4}\ +\ \frac{1}{5}\ -\frac{1}{6}\ +\ \frac{1}{7}\ -\ \frac{1}{8}\ +\ \frac{1}{9}\ -\ \frac{1}{10}\ +\ ...$

Soit :

$4$ \\2ln(2) = ln(2)$

Autrement dit :

$4$\red 2 = 1$

Votre mission, si vous l'acceptez, est de déterminer où ça cloche

Au moins, pour le début, répondez en blanqué : les autres participants vous en remercient ...

Nota :

N'hésitez pas à mettre, en blanqué, le détail de votre démonstration : ça me permettra d'y faire référence en mettant le lien pour présenter les différentes solutions proposées ( et ça me simplifiera la correction

)

Merci aux habituels des non blanqués ( dont il m'arrive de faire partie

) d'utiliser le bouton [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_21

avant de

tout envoi :

ça évitera les recours aux modos pour blanquer ce qui a été omis de l'être...

Enjoy!

Posté par re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_21 07-07-08 à 00:44

Bonsoir,

Tout d'abord

Citation :
Vous connaissez le développement en série entière de ln(1+x) :

non

Mais bon c'est pas grave je vais quand même essayer.
Juste pour savoir :

Citation :
On regroupe les termes ayant même dénominateur; pour cela, prenons les termes de dénominateur k:
¤ si k est impair, il va apparaitre dans la somme 2/k et -1/k, et donc, en regroupant, +1/k
¤ si k est pair, il va juste apparaitre -1/k

C'est pas le contraire??

Posté par re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_21 07-07-08 à 00:49

Re,

En fait j'ai rien dit j'avais considéré pour l'étape d'avant. Mon post peut être supprimé