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[détente]_JFF_Gymnastique algébrique_27
Bonjour
Une tite JFF pour réveiller cette 
On montre facilement que :
est vraie pour x et y positifs différents de 1
------------
Cette fois-ci, avec :
Donnez la relation entre x, y et z pour que cette dernière inégalité soit vérifiée
Bien entendu, pour le plaisir de tous, réponses blanquées
Nota :
En référence aux dernières JFF, et pour ne pas gâcher le plaisir de ceux qui désirent chercher, il est demandé à ceux qui :
¤ soit l'ont déjà cherchée,
¤ soit l'ont déjà donnée en JFF ou en énigme,
¤ soit l'ont déjà vue donnée ailleurs,
¤ soit savent quoi que ce soit sur cette JFF
de ne rien dire, même en blanqué ( blanqués qui sont rarement respectés )
Les seules réponses que vous pouvez donner, pour le plaisir des autres participants, est de fournir votre solution blanquée à la question posée
En espérant avoir été assez clair, sans choquer personne, je vous souhaite une bonne réflexion
bonjour Camélia
la/les relation(s) que j'attends est la plus simple possible :
¤ soit une relation (égalité/inégalité) linéaire entre x, y et z
¤ soit des égalités ou inégalités sur x, y et z : x>= ... y<=... z=... ...
Je réponds en clair à ta question qui était de savoir si la proposition (compliquée) que tu proposais était la bonne
0
[1/2;1[
]1,+oo[
ça ne me gène pas plus que ça, veleda, mais la connaissance de la genèse de mon pseudo est la suivante :
¤ mika pour le prénom mika
¤ yaou pour le provider yahoo
ainsi, le premier son "i" de mon pseudo est bien un "i" et non un "y"
maintenant, pas de souci outre-mesure, si tu tiens à écrire mon pseudo comme mykayaou, libre à toi
je prends bien le loisir d'utiliser des abréviations quand je trouve que les pseudos sont trop longs...
2)alors en fait ( vu le peu de participation, je donne la soluce en clair puisque veleda a bien cherché )
il suffisait de dire que le système :
est tel que l'inéquation est toujours vraie et qu'il suffit de prendre trois réels quelconques différents de 1 vérifiant
--------------
Maintenant,
Comment montrer que :
pour x, y et z différents de 1 tels que
A vous !
Bonsoir mikayaou
Il me semble que tu as donné la "réponse" mais pas vraiment la "soluce"?
Et justifier cette réponse ne me paraît pas évident.
Mon démarrage est-il bon?
Cliquez pour affichersalut rogerd
en fait, il est maintenant demandé de montrer que :
Pour tous x, y et z (tous différents de 1) tels que le produit vaut 1, la somme des carrés des quotients de chacun à chacun moins un est supérieure ou égale à un
la résolution que je possède ne passe pas par ta fonction f(t)
peut-être aboutira-t-elle ?
Bonne recherche !
je suis tout à fait d'accord avec toi
ma présentation était alambiquée, ce qui a du gêner veleda 
bonne recherche !
ah, comme tu ne disais pas tout, je pensais que tu y étais parvenu "à la main"
malhonnête est peut-être un peu fort, cependant ...
Si personne ne trouve, je donnerai un indice pour tenter de le faire plus "élégamment", comme tu dis 
bien qu'il y a rien de confidentiel, si un modo passe par là, il peut blanquer mon post précédent
merci
Cet triplet ( -2 ; -2 ; 1/4 ) montre à veleda qu'il ne respecte pas sa proposition du 25/07/2008 à 22:31
z € [1/2;1[ U ]1,+oo[
ou la même condition sur x ou y
bonjour Mikayaou
la condition que j'avais donnée était (je l'avais précisé)suffisantedonc il n'y a pas de contradiction
je n'ai pas eu le temps de chercher plus
Bonjour tout le monde.
Voici une démonstration simple de cette inégalité.Vous me permettrez de ne pas utiliser le latex que je ne maitrise pas encore!
Si xyz=1 alors l'un au moins des nombres x, y, ou z est supérieur ou = à 1/2.
En effet si x et y et z sont tous strictement inférieurs à 1/2,leur produit égal à 1 (par hypothèse) serait inférieur à 1/8 ce qui n'est pas.
on peut donc supposer que x est supérieur ou = à 1/2, et montrer que c'est équivalent à carré de x est supérieur ou = à carré de (x-1) et par conséquent le quotient du carré de x par le carré de (x-1) est est supérieur ou = 1.
Comme les deux autres termes sont positifs l'affaire est conclue.
PS:N'y aurait-il-pas un moyen moins compliqué que le latex pour formuler des énoncés mathématiques? Merci d'avance.
Bonsoir amatheur,
le latex est le moyen le plus pratique pour taper des formules mathématiques sur ordinateur. Essaye et tu constateras la rapidité de son apprentissage.
Par ailleurs, il n'est jamais perdu d'apprendre le Latex. Hors l'île, il reste très utile pour rédiger des documents mathématiques.
Bonsoir,
>>
Si xyz=1 alors l'un au moins des nombres x, y, ou z est supérieur ou = à 1/2.
Est-ce bien sûr? Par exemple
Bonjour cailloux.
∀x réel ,x≤|x| .A partir de là on démontre que(x-1)^2≥(|x|-1)^2.
Il ne me reste plus qu'à formuler autrement :
Si xyz=1 alors l' une au moins des |x| ou|y| ou |z| est≥1/2
En effet sinon on aurait |xyz|<1/8 qui est exclu ! et le tour est joué.
Pour amatheur22 et cailloux, je déblanke mon courrier du 30 juin:
J'étudie la fonction f définie par f(t)=(t/(t-1))^2.
Pour t>1/2, elle est >1. Cela règle la question si x,y ou z >1/2.
Si x, y et z sont <1/2, la clause xyz=1 impose que 2 d'entre eux, x et y par exemple, sont négatifs et le 3ème, donc z, compris entre 0 et 1/2.
La suite???
Bonjour Ju007.
Merci de me répondre ,je te promets de m'y coller dès maintenant.Je vais essayer désormais de l'utiliser dans mes futurs messages.
Bonjour rogerd *.
Il me semble que ma démonstration englobe tous les cas de figure.En réalité l'un au moins des trois termes du premier membre fait à lui tout seul l'affaire.
BONSOIR rogerd *
On peut donc supposer dans la suite que: x<y<0<z<1/2.
xyz=1implique xy=1/z qui est donc supérieur à 2.
En dressant le tableau de variation de la fonction f considérée plus haut,elle décroit de 1 à 0 sur ]-∞,0] et croit de 0 à 1 sur [0, 1/2[.
Ainsi lorsque z tend vers 1/2, f(z) tend vers 1 et c suffisant pour conclure.
Et lorsque z tend vers 0, f(z) tend vers 0 et xy tend vers +∞.
En fixant y on a x tend vers -∞ et à ce moment f(x) tend vers 1.
Reste le cas où z se ballade librement entre 0 et 1/2!
Peut-on conclure en utilisant la continuité de f? Si oui, comment?
Quelle prise de tête?
Pouvez- vous me dire s'il vous plait comment on obtient pour les tableaux sous latex le symbole qui permet de changer de colonne? Merci!
Bonjour tout le monde!
Voyant que notre méthode utilisant une fonction ( amatheur22 et moi) n'a pas l'air d'aboutir, j'ai repris des calculs commencés il y a quelques jours et qui, finalement, semblent marcher.
Je considère X=x/(x-1) et les deux analogues Y et Z comme les racines d'une équation du 3° degré:
.
En remplaçant T par t/(t-1) et chassant les dénominateurs, je forme une équation du 3° degré vérifiée par x,y,z. Après réductions:
.
Le produit xyz des racines de cette équation est égal à 1.
J'en déduis que donc
.
X,Y,Z sont donc racines de
.
La somme X+Y+Z des racines est égale à -a, la somme des produits deux à deux XY+XZ+YZ est égale à -(a+1).
La somme des carrés est égale à
donc à
.
Elle est donc effectivement supérieure ou égale à 1.
Infophile nous dit que c'est un exercice des Olympiades. Il y a donc sans donc sans doute une autre solution, au niveau Terminales.
Le plus simple je pense est de factoriser P(x)-1 qui s'avère être un carré donc positif, et c'est terminé.
A noter que ce sont les IMO et pas les Olympiades académiques, donc la solution n'est pas nécessairement de niveau lycée.
Non, c'est peut-être pour ça que ça figure aux IMO (c'est les olympiades internationales, seuls les jeunes meilleurs matheux de chaque pays peuvent y participer).
Bonjour et bonne journée à tous!
Dans l'attente d'une réponse d'infophile, j'ai relu ma démonstration du 6/8 à 16:48.
Elle se termine par d'où je déduis
.
J'aurais pu écrire cela
C'est peut-être à cette factorisation que fait allusion infophile?
Peut-être peut-on l'obtenir plus rapidement que moi?
P.S. Que pense mikayaou de tout cela?
bonjour à tous
voici ce que j'ai trouvé
je pose
d'où
ce qui se traduit par u+v+w=1-(uv+vw+wu)
u²+v²+w²=(u+v+w)²-2(uv+vw+wu)=(u+v+w)²-2(u+v+w-1)=(u+v+w-1)²+1
1
>>[rogerdil me semble que c'est à peu prés ton résultat,je n'ai pas eu le temps de détaillé ta démonstration car j'ose à peine me servir de l'ordinateur à cause des orages j'ai déjà du remplacer la livebox la semaine dernière
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