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Déterminer a et b.

Posté par
matheux14 07-11-20 à 14:19

Bonjour ,

Merci d'avance .

Soit la fonction f définie sur \R* par : f(x)=a.x +b+\dfrac{1}{x}


On note (C) sa courbe représentative dans le repère orthonormé (O, I , J).

L'unité graphique est 1 cm.

1) Déterminer a et b pour que (C) passe par le point A(\dfrac{\sqrt{2}}{2} ; 2\sqrt{2}-1) et admette en ce point , une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

2) Démontrer que le point E(0 ; -2) est un centre de symétrie de (C).

3-a) Calculer la limite de f à droite en 0 puis interpréter graphiquement le résultat.

b) Calculer les limites de f en +? et en -?.

4) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

5-a) Démontrer que la droite (D) d'équation y=2x-1 est asymptote à (C).

b) Étudier les positions de (C) par rapport à (D).

6) Tracer (D) et (C).

Réponses

1) * (C) passe par le point A(\dfrac{\sqrt{2}}{2} si ;

2\sqrt{2}-1=a×\dfrac{\sqrt{2}}{2}+b+\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}

2\sqrt{2}-1=a×\dfrac{(a+2)\sqrt{2}}{2}+b

* La tangente en A étant parallèle à l'axe des abscisses , f'(\dfrac{\sqrt{2}{2}})=0

Donc cette tangente a pour équation y=f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=\dfrac{(a+2)\sqrt{2}}{2}

D'où 2\sqrt{2}-1=\dfrac{(a+2)\sqrt{2}}{2}

Ce qui ne diffère pas de la première condition.

J'ai besoin d'une autre équation pour trouver a et b...

***Niveau modifié en fonction du profil***

Posté par
heklare : Déterminer a et b. 07-11-20 à 14:24

Bonjour

Quelle est la dérivée ?  et le nombre dérivé en a

Posté par
heklare : Déterminer a et b. 07-11-20 à 14:32

Comment trouvez-vous la première équation ?

\dfrac{a\sqrt{2}}{2}+b+\dfrac{2}{\sqrt{2}}= 2\sqrt{2}-1

en multipliant les deux membres par 2\sqrt{2}


2a+2b\sqrt{2}+4=2\sqrt{2}(2\sqrt{2}-1)

Posté par
matheux14re : Déterminer a et b. 07-11-20 à 14:40

*(C) passe par A si ,

2\sqrt{2}-1=a×\dfrac{\sqrt{2}}{2}+b+\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}

2\sqrt{2}-1=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}+b

2\sqrt{2}-1=\dfrac{a\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}+b

2\sqrt{2}-1=\dfrac{(a+2)\sqrt{2}}{2}+b

Posté par
matheux14re : Déterminer a et b. 07-11-20 à 14:58

hekla @ 07-11-2020 à 14:24

Bonjour

Quelle est la dérivée ?  et le nombre dérivé en a
\forall x \in \R*
f'(x)= a-\dfrac{1}{x²}

Posté par
heklare : Déterminer a et b. 07-11-20 à 15:01

Il est vrai que j'ai oublié de simplifier \dfrac{2}{\sqrt{2}} en \sqrt{2}

\dfrac{a}{\sqrt{2}}+b+\sqrt{2}= 2\sqrt{2}-1

maintenant on multiplie par \sqrt{2}

a + b\sqrt{2}+2=4-\sqrt{2}

a+b\sqrt{2}=2-\sqrt{2}

Posté par
heklare : Déterminer a et b. 07-11-20 à 15:02

Oui donc f'\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=  d'une part  0 d'autre part

Posté par
matheux14re : Déterminer a et b. 07-11-20 à 15:20

f'(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=a-2

f'(\dfrac{\sqrt{2}}{2})= \iff a-2=0

On a donc le système \begin{cases} a-2=0 \\ a+b\sqrt{2}=2-\sqrt{2} \\ \end{cases} à résoudre..

Il vient a=2 et b=-1.

Merci , pour le reste ça va..

Posté par
heklare : Déterminer a et b. 07-11-20 à 15:28

Oui a=2 et b=-1

Pas de problème pour le centre de symétrie ?


De rien

Posté par
heklare : Déterminer a et b. 07-11-20 à 15:31

Une remarque  on vous donnait la réponse en vous demandant de montrer que  y=2x-1  c'est-à-dire y=ax+b était asymptote à la courbe au voisinage de l'infini

Posté par
matheux14re : Déterminer a et b. 07-11-20 à 15:41

Oui , il y a effectivement un problème avec le centre de symétrie...

Posté par
heklare : Déterminer a et b. 07-11-20 à 16:10

Le point \Omega\ \dbinom{\alpha}{\beta} est centre de symétrie pour la courbe représentative de f  si

Pour tout h tel que \alpha +h appartenant à l'ensemble de définition de f

\alpha-h y appartient aussi et f(\alpha+h)+f(\alpha-h)=2\beta

En gros pour expliciter : On prend 2 points quelconques de la courbe et on montre que le milieu de ces deux points  est justement le centre de symétrie

Posté par
matheux14re : Déterminer a et b. 08-11-20 à 05:50

Oui , ou  montrer que la fonction g définie de R vers R par g(x)=f(x+)- est impair.

Posté par
heklare : Déterminer a et b. 08-11-20 à 10:28

Êtes-vous sûr  ?

J'aurais plutôt mis g(x)=f(x-\alpha)+\beta

on passe de la courbe représentative de f à celle de h x\mapsto f(x-\alpha) par une translation de vecteur \alpha \vec{i}

on passe de la courbe représentative de f à celle de \ell x\mapsto f(x)+\beta) par une translation de vecteur \beta \vec{j}

Posté par
matheux14re : Déterminer a et b. 10-11-20 à 06:41

Citation :
J'aurais plutôt mis g(x)=f(x-\alpha)+\beta


Non .. C'est plutôt g(x)=f(x+\alpha)-\beta.

On montre ensuite que g est impaire.

Posté par
heklare : Déterminer a et b. 10-11-20 à 12:37

Faisons un changement de repère. Considérons le point \Omega de coordonnées  \Omega \  \dbinom{\alpha}{\beta} dans le repère O ; i,j)


le point M a pour coordonnées \dbinom{x}{y}  dans le repère (O ; i, j) et  \dbinom{X}{Y} dans le repère (\Omega ; i, j)  
\vec{OM}=\vec{\Omega}+\vec{\Omega\,M}

d'où \begin{cases}x=X+\alpha\\y=Y+\beta\end{cases}

Le point M appartenant à la courbe  ses coordonnées vérifient  y=f(x) soit

Y+\beta=f(X+\alpha)

On montre que dans ce nouveau repère  c'est la courbe représentative d'une fonction impaire

Posté par
matheux14re : Déterminer a et b. 10-11-20 à 18:54

Oui , et donc
Y=f(X+\alpha)-\beta..

Ce qui revient à ce que je disais


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