Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau 2 *
Partager :

Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4)

Posté par
littleguy
25-11-15 à 19:03

Ça continue...

On se propose de former des nombres en utilisant en tout exactement deux fois le chiffre 2, trois fois le chiffre 3, cinq fois le chiffre 5 et sept fois le chiffre 7, à l'exclusion de tout autre chiffre, puis de calculer leur somme S.

Par exemple on peut former : 3, 352, 757, 7755 et 375772.
On bien utilisé exactement deux fois le chiffre 2, trois fois le chiffre 3, cinq fois le chiffre 5, sept fois le chiffre 7 et aucun autre chiffre ; et on a S = 384639.

Episode 3/4 :

L'objectif est de ne former que des nombres premiers et distincts et tels que S soit également un nombre premier.

Que proposez-vous ?

Posté par
LeDino
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4) 26-11-15 à 04:23

gagnéBonsoir,

J'aurais dû répondre en premier à celle-ci... elle est évidente.
Il n'y a pas de solution à ce problème.

En effet, la somme est congrue modulo 9 à  2² + 3² + 5² + 7² = 87  qui est congrue modulo 9 à 6.
Donc la somme est toujours divisible par 3 et ne peut être première.

Merci encore !!!

Posté par
dpi
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4) 26-11-15 à 15:54

perduSuite

Pour 3/4 la somme doit être un nombre premier
Je trouve:2731 =53+223+257+337+557+577+727

Posté par
dpi
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4) 26-11-15 à 15:57

perduerreur donc puni

Posté par
LittleFox
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4) 26-11-15 à 18:17

gagné
Il n'en existe pas.

J'ai montré lors de la partie 2 que la somme est congrue à 6 modulo 9. Ce qui signifie que toutes les sommes sont multiple de 3 et ne peuvent donc pas être premières.

Posté par
franz
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4) 27-11-15 à 14:02

gagnéS est nécessairement un multiple de 3. En effet, le reste de la division par 3 d'un nombre étant égal au reste de la division de la somme de ses chiffres par 3 on a
S=\sum_{i=1}^n a_i,  l'ensemble des chiffres des a_i étant formés de deux 2, trois 3, cinq 5 et sept 7.

S\equiv \sum_{i=1}^n a_i [3] \equiv 2^2+3^2+5^2+7^2 [3] \equiv (-1)^2+0+(-1)^2+1^2 [3]\equiv 0 [3]  

En revanche on peut trouver des a_i tels que \dfrac S 3 soit premier.

La plus petite solution que j'ai trouvée est :

1563=3\times 521 = 2+7+37+53+73+257+557+577

Posté par
dpi
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4) 27-11-15 à 14:28

perduPour me faire pardonner je donne une somme première
3467=7+53+277+353+2777

Posté par
dpi
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4) 27-11-15 à 14:45

perduOu plutôt 4517=3+7+73+523+557+577+2777

Posté par
masab
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4) 28-11-15 à 11:20

gagnéBonjour littleguy,

L'énigme 3/4 n'admet pas de solution.

En effet dans l'énigme 2/4 on a vu que S est congru à 6 modulo 9.
Donc S est divisible par 3 . Comme S > 3, il en résulte que S n'est jamais un nombre premier.
Merci pour cette énigme astucieuse !

Posté par
LeDino
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4) 28-11-15 à 15:56

gagnéBravo à  masab  qui vient de répondre aux quatre épisodes dans l'ordre convenable de difficulté ...

Il semblerait être le premier à avoir vu de suite que l'épisode 3 est en réalité le plus facile à résoudre, malgré les "apparences"...

Posté par
torio
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4) 29-11-15 à 00:09

gagnéImpossible.
(La somme des nombres sera toujours divisible par 3)

A+
Torio

Posté par
Nofutur2
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4) 04-12-15 à 12:23

gagnéBon sang !! Mais c'est bien sûr !! Suis je bête!!! Comme la somme des 17 chiffres proposés est 87 divisible par 3... la somme des nombres constitués par ces chiffres est obligatoirement divisible par 3.
Donc il n'y a pas de solution à ce problème...

Posté par
castoriginal
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4) 04-12-15 à 19:20

perduBonsoir,

je vous propose la solution suivante qui donne le résultat de 8081 , nombre premier

Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d\'autre ! (3/4)


amitiés

Posté par
littleguy
re : Deux 2, trois 3, cinq 5, sept 7, et rien d'autre ! (3/4) 18-12-15 à 15:05

Eh oui, c'était impossible.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 82:54:59.
Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !