Bonjour,

Avec L >= l :

C'est ça Candide avec des notations qui ne sont pas celles qui sont proposées . Après , le but est de le justifier simplement sans utiliser l'argument passe-partout : on voit bien que
Imod

"avec des notations qui ne sont pas celles qui sont proposées"

Quelles notations ai-je utilisées et qui ne sont pas proposées ?



Pour la justification, il est évident que les cercles doivent être  symétriques par rapport au rectangle ... et comme il y a deux cercles, il va de soi de commencer par couper le rectangle en deux parties égales.
Et  la bonne façon de couper est celle qui minimise la plus grande distance dans ces 2 morceaux ...
Cela dit, tout coule de source.

OK ta formule est juste , sinon l'est aussi .

Sinon j'aurais pu ajouter à la liste des interdits : il est évident que , il va de soi , cela coule de source .

Imod

J'enlève c'est évident et je ne change rien d'autre .

Pour la justification,  les cercles doivent être  symétriques par rapport au rectangle ... et comme il y a deux cercles,il faut commencer par couper le rectangle en deux parties égales.
Et  la bonne façon de couper est celle qui minimise la plus grande distance dans ces 2 morceaux ...

Pour couper un rectangle en 2 parties égales, on peut le faire suivant sa diagonale ou bien suivant une parallèle à la longueur par le milieu de la largeur ou bien suivant une parallèle à la largeur par le milieu de la longueur.
Comme un des cercles doit couvrir la longueur maximum possible dans une découpe ...  il faut choisir la découpe pour minimiser cette longueur ... et c'est la découpe parallèle à la largeur par le milieu de la longueur qui  réalise cela.
Le rayon des cercles est alors la moitié de cette longueur maximum.

Tout blabla supplémentaire ne sert à rien.

Si tu veux , laissons les autres s'exprimer
Imod

Bonjour,

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les deux disques sont identiques  de rayon R.
La solution sera symétrique ,il  faut donc qu'un disque recouvre le
demi rectangle de L/2 x l .
Le plus petit cercle sera donc tangent aux 4 coins de ce demi rectangle .
La diagonale du demi rectangle  est ((L/2)²+l²)
et est aussi le diamètre du cercle.
On  a donc R =(((L/2)²+l²))/2

salut

je dirai plutôt :

un disque recouvre un rectangle si son diamètre est supérieur à la longueur des diagonales de ce rectangle (qui est le maximum des distances entre deux points de ce rectangle)

Bonjour aux nouveaux intervenants

Cet exercice est un problème personnel dont la solution est malheureusement trop évidente . De nombreuses solutions à des problèmes du même style sont présentées sous la forme , il est évident que , on peut supposer que , le meilleur des cas est réalisé quand , .. Ce n'est pas gênant si on voit clairement l'argument qui se cache derrière  . Heureusement certains problèmes montrent que les belles solutions régulières ne sont pas forcément les meilleures ( je n'en ai pas en tête mais nous en avons tous rencontrés ) .

J'ai pris pas mal de précautions pour présenter l'exercice et je voulais pas donner d'indice d'emblée , en voici un :


Imod

A la vue de ton dernier dessin ,je ne vois pas de contre-indication à
la réponse précédente.

C'est simplement une aide à la démonstration , il y a six points à placer dans deux disques .

Imod

je pense qu'il y a un biais dû à la "simplicité" de ton exercice ...

pour recouvrir n points par un disque il suffit que le diamètre de ce disque soit supérieur au maximum de la distance entre deux points quelconques.

et il faut bien sûr quelques "contorsions" supplémentaires si on veut deux disques de même rayon (et ensuite minimal)

ici ta figure est très (voire trop) particulière ...(ment simpliste)

reprendre peut-être le problème avec par exemple avec un pentagone régulier

Je suis bien d'accord Carpediem la figure est trop simple et la solution est évidente mais cela veut-il que la démonstration l'est aussi ? Je me souviens d'un problème qu'on m'avait proposé encore bien plus évident . On place un pion sur le bord nord d'un échiquier et un autre sur le bord ouest  . Le pion nord va rejoindre le bord sud en se déplaçant d'une case vers une autre qui partage un côté avec elle . Le pion ouest fait un peu pareil sauf qu'il rejoint le bord est . Il est entendu qu'il ne sortent pas de l'échiquier . Existe-t-il forcément une case commune au parcours des deux pions ? La réponse : c'est évident n'est pas acceptée .

Sinon pour rester sur le problème "trop simple" que j'ai proposé , voici la meilleure configuration connue du recouvrement d'un carré par 12 disques :



Entre 12 et 4 il y a pas mal de symétries et en plus le rectangle est carré , encore plus de symétries et pourtant la solution n'en présente pas beaucoup .

Imod

    

Une petite demande à la modération , il manque deux lettres au titre du sujet car mon clavier est en train de rendre l'âme , ça pique vraiment les yeux
Merci d'avance
Imod

Comme plus personne ne semble intéressé par le problème initial je donne ma solution et je proposerai plus tard sur un nouveau fil l'autre problème que j'ai évoqué ici .

D'après les illustrations précédentes , le rayon convient , mais est-ce le meilleur ?  Sur la figure aux six points rouges , l'un des disques contient au moins trois de ces points . Il n'y plus qu'à regarder la taille du plus petit disque contenant trois points rouges , dans le meilleur des cas on retrouve le précédent .

Imod

PS : Mes yeux te remercient chaleureusement Malou   

Bonjour Imod,
Subsiste-t-il un doute pour deux cercles plus petits ?

La réponse est complète sans présupposition non justifiée du style "la figure doit être symétrique par rapport à la médiatrice de la longueur " .

Je taquine un peu , mais gentiment

Imod