Bonjour,
Ça marche aussi avec les deux points sur la même branche

Mais oui !

Démonstration manuelle:

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La droite en question a pour équation , où et .
Le point E a pour coordonnées et le point D a pour coordonnées .

Reste ensuite à calculer que

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L'énoncé reste le même si on prend f(x) = -1/x à la place de la fonction inverse et si on permute les rôles de A et de B, parce que le repère utilisé coincide avec les asymptotes des deux hyperboles. Or, la courbe représentative de f est exactement la rotation d'angle pi/2 (ou -pi/2) de la courbe de la fonction inverse, donc les droite (BA) et (B'A') s'intersectent en angle droit. Il s'agit ensuite de montrer que B'D' = BD et la symétrie dira alors que EA = B'D' = BD. Peut être montrer qu'il y a une isométrie complexe là dessous ?

Bonjour,

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C'est vrai, d'après ce que j'ai pu voir, pour toute hyperbole non nécessairement équilatère. Voir "définition cissoïdale de l'hyperbole".

On considère 2 droites (D) et(D') concourantes. A un point fixe hors des droites. Une droite() passant par A coupe (D) en P, (D') en Q.
Quand () varie, le lieu du point M défini par est une hyperbole d'asymptotes (D) et (D').
Dans le repère (D), (D')  le produit des coordonnées de M reste constant.

Bonjour,

On trouvait ça dans les anciens livres de Terminale
par la preuve algébrique (= sur les équations) que AB et DE ont même milieu

dans le repère (affine) (O, ,) l'hyperbole a pour équation xy = k



en appelant D (u; 0) et E(0; v) les coordonnées de D et E, l'équation de la droite (DE) est , alias
(quels que soient les signes de u et v non nuls)

les coordonnées des points d'intersection A et B sont donc les solutions de



les abscisses sont solutions de

ou encore

le milieu de AB a donc pour abscisse u/2
or le milieu de DE a aussi pour abscisse u/2
donc c'est le même point (de la droite (DE))
CQFD

Joli !
On peut donc partir en fait de deux points E et D sur chacun des axes du repère, mais distincts del'origine.

Effectivement, je retrouve dans le "Lespinard et Pernet" Géométrie de Math-Elem au chapitre "propriétés particulières à l'hyperbole" le théorème suivant:

Une hyperbole et ses asymptotes déterminent sur une sécante commune deux segments ayant même milieu.

La démonstration part de l'équation x*y=constante, puis de simples égalités de rapports permettent de conclure.

oui,
avec mes notations et k> 0, il vaut mieux que uv > 4k (sur la même branche de l'hyperbole) ou uv < 0 (sur deux branches différentes)
sinon des segments imaginaires, ce n'est pas top pour dire qu'ils sont égaux !

Bonsoir,
On en déduit un cas particulier plus ou moins connu :
Le segment déterminé par une tangente à une hyperbole et ses asymptotes a pour milieu le point de contact.

Merci pour toutes vos réponses
On peut donc reformuler ainsi l'exercice :
Dans un repère cartésien, soit H l'hyperbole d'équation y = 1/x.
Soit A et B deux points distincts sur H.
La droite (AB) coupe l'axe des abscisses en D et l'axe des ordonnées en E.
Démontrer que BD = EA.

Il y a du parallélogramme aplati dans l'air avec l'histoire du milieu.
Peut se démontrer analytiquement ou avec des triangles rectangles semblables, comme sans doute évoqué par mathafou :

rendons à César .. c'est larrech qui a dit ça.

Bonjour,

Voici, pour le fun,  une photo de la démonstration retrouvée dans mon vieux bouquin

Super !
Je rectifie "Peut se démontrer analytiquement ou avec des triangles rectangles semblables, comme sans doute évoqué par larrech"