Bonjour,
Un exercice que m'a proposé un de mes neveux :
Dans un repère cartésien, soit H l'hyperbole d'équation y = 1/x.
A et B sont deux points de H avec xA > 0 et xB < 0.
La droite (AB) coupe l'axe des abscisses en D et l'axe des ordonnées en E.
Démontrer que BD = EA.
C'est peut-être un classique, mais je ne connaissais pas.
J'ai déjà trouvé deux démonstrations.
Je fais confiance à votre imagination pour en voir apparaître d'autres
Par ailleurs, je suis curieuse de voir si une propriété de l'hyperbole et de ses asymptotes est cachée derrière cette propriété.
Bonjour,
On trouvait ça dans les anciens livres de Terminale
par la preuve algébrique (= sur les équations) que AB et DE ont même milieu
dans le repère (affine) (O, ,
) l'hyperbole a pour équation xy = k
en appelant D (u; 0) et E(0; v) les coordonnées de D et E, l'équation de la droite (DE) est , alias
(quels que soient les signes de u et v non nuls)
les coordonnées des points d'intersection A et B sont donc les solutions de
les abscisses sont solutions de
ou encore
le milieu de AB a donc pour abscisse u/2
or le milieu de DE a aussi pour abscisse u/2
donc c'est le même point (de la droite (DE))
CQFD
Joli !
On peut donc partir en fait de deux points E et D sur chacun des axes du repère, mais distincts del'origine.
Effectivement, je retrouve dans le "Lespinard et Pernet" Géométrie de Math-Elem au chapitre "propriétés particulières à l'hyperbole" le théorème suivant:
Une hyperbole et ses asymptotes déterminent sur une sécante commune deux segments ayant même milieu.
La démonstration part de l'équation x*y=constante, puis de simples égalités de rapports permettent de conclure.
oui,
avec mes notations et k> 0, il vaut mieux que uv > 4k (sur la même branche de l'hyperbole) ou uv < 0 (sur deux branches différentes)
sinon des segments imaginaires, ce n'est pas top pour dire qu'ils sont égaux !
Bonsoir,
On en déduit un cas particulier plus ou moins connu :
Le segment déterminé par une tangente à une hyperbole et ses asymptotes a pour milieu le point de contact.
Merci pour toutes vos réponses
On peut donc reformuler ainsi l'exercice :
Dans un repère cartésien, soit H l'hyperbole d'équation y = 1/x.
Soit A et B deux points distincts sur H.
La droite (AB) coupe l'axe des abscisses en D et l'axe des ordonnées en E.
Démontrer que BD = EA.
Il y a du parallélogramme aplati dans l'air avec l'histoire du milieu.
Peut se démontrer analytiquement ou avec des triangles rectangles semblables, comme sans doute évoqué par mathafou :
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