Développement asymptotique

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Développement asymptotique
Posté par 
kadile  08-05-23 à 17:54
Bonjour,

Développement asymptotique:

f(x)=(x+2)*exp(1/(x²+x+1)

Développement, équation de l'asymptote et position de la courbe par rapport à l'asymptote.

Je pose X=1/x, x--->infini alors X--->0

1/(x²+x+1)=X²/(1+X+X²) avec X=1/X

exp(X²/(1+X+X²))=1+X²-X^3+o(X^3)

Donc f(x)=(x+2)*(1+1/x²-1/x^3+o((1/x)^3)

f(x)=2+x+1/x+1/x²-2/x^3+o(2/x^3)

asymptote : y =x+2

Si x--->+infini  alors 1/x>0 et la courbe au dessus de l'asymptote. 

Si x--->-infini  alors 1/x<0 et la courbe en dessous de l'asymptote. 



Est ce correct ?

Merci d'avance.
 Posté par 
carpediemre : Développement asymptotique  08-05-23 à 18:23
salut



ouais ça semble correct ... bien que difficile à lire sans espace dans les expressions mathématiques ...
 Posté par 
kadilere : Développement asymptotique  08-05-23 à 18:49
Merci pour ta réponse.

J'ai une question:

f(x)=x²-x+1)*exp(x)

x²-x+1 est un polynôme  d'ordre 2.

 f(x)= (x²-x+1)*développent de exp(x) à l'ordre 2 ?
 Posté par 
carpediemre : Développement asymptotique  08-05-23 à 19:32
je ne comprends pas ta question !



que veux-tu faire ?
 Posté par 
kadilere : Développement asymptotique  09-05-23 à 11:12
Puisque  x²-x+1 est d'ordre 2, je développe exp(x) à quel ordre ?
 Posté par 
carpediemre : Développement asymptotique  09-05-23 à 19:07
pour faire quoi ?
 Posté par 
kadilere : Développement asymptotique  10-05-23 à 11:52
C'est juste un exercice pour s'entrainer!
 Posté par 
carpediemre : Développement asymptotique  10-05-23 à 15:53
certes mais 
carpediem @ 08-05-2023 à 19:32

je ne comprends toujours pas ta question !



que veux-tu faire ?
 Posté par 
kadilere : Développement asymptotique  10-05-23 à 17:21
f(x)= (x²-x+1)* exp(x) 

Donner un développement limité de f.



L'énoncé ne précise pas l'ordre du développement.

Comme le polynôme (x²-x+1) est d'ordre 2, Je développe exp(x) à l'ordre 2 et  je multiplie par (x²-x+1)

f(x)=(x²-x+1)*(1+x+x²/2=1+x²/2+x^3/2+x^4/2

J'obtiens un développement d'ordre 4.

Donc je ne sais pas si c'est valable ou non ?

 
 Posté par 
carpediemre : Développement asymptotique  10-05-23 à 17:48
ben si c'est bon sans oublier le reste o(x^?)
 Posté par 
kadilere : Développement asymptotique  10-05-23 à 18:48
Justement c'est le reste qui me pose problème!

o(x^2) ou o(x^3 ) ou o(x^4) ?



Il doit y avoir une règle, non ?
 Posté par 
carpediemre : Développement asymptotique  10-05-23 à 19:25
bien sûr : 
 Posté par 
kadilere : Développement asymptotique  11-05-23 à 12:12
Je ne sais pas si je comprends bien:

P(x) c'est (1+x²/2+x^3/2+x^4/2)  ou (x²-x+1) ?

et k ?
 Posté par 
carpediemre : Développement asymptotique  11-05-23 à 19:42
p est un polynome ...
 Posté par 
kadilere : Développement asymptotique  12-05-23 à 11:22
Oui, je sais que p est un polynôme.

Le développement de f est un polynôme donc j'écris:

f(x)=1+x²/2+x^3/2+x^4/2+o(x^4)

Mais aussi f(x)=1+x²/2+x^3/2+o(x^3) et ainsi de suite.

Il faut bien s'arrêter à un ordre du développement ?

Je n'ai pas compris k et degré de  p dans ta notation o(x^(k+deg(p))

Que vaut k, que vaut deg(p) ?
  Posté par 
carpediemre : Développement asymptotique  12-05-23 à 12:14
kadile @ 08-05-2023 à 17:54

exp(X²/(1+X+X²))=1+X²-X^3+o(X^3)

Donc f(x)=(x+2)*(1+1/x²-1/x^3+o((1/x)^3)

f(x)=2+x+1/x+1/x²-2/x^3+o(2/x^3)
ici tu écris bien des o(x^k)


il y a bien un reste o(...)


et pour un polynome de degré 2 par exemple  alors sont dl est lui-même à tout ordre supérieur à 2 et par exemple 