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Niveau Lycéen curieux
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Développement asymptotique

Posté par
kadile
08-05-23 à 17:54

Bonjour,
Développement asymptotique:
f(x)=(x+2)*exp(1/(x²+x+1)
Développement, équation de l'asymptote et position de la courbe par rapport à l'asymptote.
Je pose X=1/x, x--->infini alors X--->0
1/(x²+x+1)=X²/(1+X+X²) avec X=1/X
exp(X²/(1+X+X²))=1+X²-X^3+o(X^3)
Donc f(x)=(x+2)*(1+1/x²-1/x^3+o((1/x)^3)
f(x)=2+x+1/x+1/x²-2/x^3+o(2/x^3)
asymptote : y =x+2
Si x--->+infini  alors 1/x>0 et la courbe au dessus de l'asymptote.
Si x--->-infini  alors 1/x<0 et la courbe en dessous de l'asymptote.

Est ce correct ?
Merci d'avance.

Posté par
carpediem
re : Développement asymptotique 08-05-23 à 18:23

salut

ouais ça semble correct ... bien que difficile à lire sans espace dans les expressions mathématiques ...

Posté par
kadile
re : Développement asymptotique 08-05-23 à 18:49

Merci pour ta réponse.
J'ai une question:
f(x)=x²-x+1)*exp(x)
x²-x+1 est un polynôme  d'ordre 2.
f(x)= (x²-x+1)*développent de exp(x) à l'ordre 2 ?

Posté par
carpediem
re : Développement asymptotique 08-05-23 à 19:32

je ne comprends pas ta question !

que veux-tu faire ?

Posté par
kadile
re : Développement asymptotique 09-05-23 à 11:12

Puisque  x²-x+1 est d'ordre 2, je développe exp(x) à quel ordre ?

Posté par
carpediem
re : Développement asymptotique 09-05-23 à 19:07

pour faire quoi ?

Posté par
kadile
re : Développement asymptotique 10-05-23 à 11:52

C'est juste un exercice pour s'entrainer!

Posté par
carpediem
re : Développement asymptotique 10-05-23 à 15:53

certes mais

carpediem @ 08-05-2023 à 19:32

je ne comprends toujours pas ta question !

que veux-tu faire ?

Posté par
kadile
re : Développement asymptotique 10-05-23 à 17:21

f(x)= (x²-x+1)* exp(x)
Donner un développement limité de f.

L'énoncé ne précise pas l'ordre du développement.
Comme le polynôme (x²-x+1) est d'ordre 2, Je développe exp(x) à l'ordre 2 et  je multiplie par (x²-x+1)
f(x)=(x²-x+1)*(1+x+x²/2=1+x²/2+x^3/2+x^4/2
J'obtiens un développement d'ordre 4.
Donc je ne sais pas si c'est valable ou non ?

Posté par
carpediem
re : Développement asymptotique 10-05-23 à 17:48

ben si c'est bon sans oublier le reste o(x^?)

Posté par
kadile
re : Développement asymptotique 10-05-23 à 18:48

Justement c'est le reste qui me pose problème!
o(x^2) ou o(x^3 ) ou o(x^4) ?

Il doit y avoir une règle, non ?

Posté par
carpediem
re : Développement asymptotique 10-05-23 à 19:25

bien sûr : P(x)o(x^k) = o(x^{k + deg(P)})

Posté par
kadile
re : Développement asymptotique 11-05-23 à 12:12

Je ne sais pas si je comprends bien:
P(x) c'est (1+x²/2+x^3/2+x^4/2)  ou (x²-x+1) ?
et k ?

Posté par
carpediem
re : Développement asymptotique 11-05-23 à 19:42

p est un polynome ...

Posté par
kadile
re : Développement asymptotique 12-05-23 à 11:22

Oui, je sais que p est un polynôme.
Le développement de f est un polynôme donc j'écris:
f(x)=1+x²/2+x^3/2+x^4/2+o(x^4)
Mais aussi f(x)=1+x²/2+x^3/2+o(x^3) et ainsi de suite.
Il faut bien s'arrêter à un ordre du développement ?
Je n'ai pas compris k et degré de  p dans ta notation o(x^(k+deg(p))
Que vaut k, que vaut deg(p) ?

Posté par
carpediem
re : Développement asymptotique 12-05-23 à 12:14

kadile @ 08-05-2023 à 17:54

exp(X²/(1+X+X²))=1+X²-X^3+o(X^3)
Donc f(x)=(x+2)*(1+1/x²-1/x^3+o((1/x)^3)
f(x)=2+x+1/x+1/x²-2/x^3+o(2/x^3)
ici tu écris bien des o(x^k)

il y a bien un reste o(...)

et pour un polynome de degré 2 par exemple P(x) = 1 + 2x + 3x^3 alors sont dl est lui-même à tout ordre supérieur à 2 et par exemple P(x) = 1 + 2x + o(x) = 1 + 2x + 3x^2 + o(0)



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