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Devoir de Spé Math
J'ai déjà fait la partie I du devoir mais je bloque à la question 2 de la partie II et à la partie III. Pouvez-vous m'aider s'il vous plait? J'ai mis toutes les questions au cas où cela vous aide:
On s'intéresse à l'ensemble A des entiers naturels de la forme 3x^2 + 7y^2 où x et y sont des entiers naturels. Par exemple, 19 appartient à A car: 19 = 3*2^2 + 7*1^2
Partie I
1- Donnee, sans démonstration, les éléments de A inférieurs ou égaux à 15.
2- Montrer que si n appartient à A alors pour tout entier naturel a, na^2 appartient à A.
3- Soit n = 9k un élément de A divisible par 9
a)Démontrer que y est divisible par 3 pui que x est divisible par 3
b) En déduire que k appartient à A
c) Pourquoi peut-on en déduire la propriété suivante: "n appartient à A si et seulement si 9n appartient à A"
4-a) Montrer que pour tout entier naturel k, k^2 congru 0 modulo 4 ou k^2 congru 1 modulo 4
b) En déduire que les éléments de A sont congrus, modulo 4, à 0, 2 ou 3
c) Montrer que les éléments de A sont congrus, modulo 3, à 0 ou 1
Partie II
1- Soit n un élément de A : n = 3x^2 + 7y^2. Montrer que : y 
n/7.
2- Compléter l'algorithme suivant qui, un entier n étant entré, affiche x et y si n appartient à A avec n = 3x^2 + 7y^2:
Entrer N
Dans K mettre N/7
Pour Y de 0 à K
Dans X mettre
Si X est entier alors
Afficher X et Y
Fin de la boucle pour
Partie III
Quel est le plus petit élément de A strictement spérieur à 2014
Je vous remercie d'avance pour votre aide 
Bonjour,
II)2) Je préférerais:
Dans mettre
où
est la "partie entière de"
Pour le reste il suffit d' écrire:
Dans mettre
bonjour
j'ai l'impression que j'ai déjà répondu à cet exo.
PartieI)
1)
3x²+7y²<=15 ssi 3x²<=15 et 7y²<=15 et 3x²+7y²<=15
ssi x²<=4 et y²<=2 et 3x²+7y²<=15
ssi x=0 ou x=1 ou x=2 et 3x²+7y²<=15
si x=0 alors y²<=2 donc y=0 ou y=1 solution (0;0) et (0;1)
si x=1 alors 7y²<=12 donc y²<=1 donc y=0 ou y=1 solution (1;0) et (1;1)
si x=2 alors 7y²<=3 donc y=0 solution (2;0)
2)
soit n un élément de A. alors ils existent deux entiers naturels x et y tels que n=3x²+7y²
soit a un entier quelconque alors na²=3(xa)²+7(ya)² donc na² appartient à A
3)n=9k un élément de A donc il existe x et y tels que n=3x²+7y²
donc 9k=3x²+7y²
donc
3(3k-x²)=7y²
donc 3 divise 7y²
comme 3 et 7 sont premier entre eux donc d'après le th de Gauss 3 divise y²
comme 3 est premier donc 3 divise y
donc y=3y'
donc
9k=3x²+7*9*(y')²
donc 3(k-7(y')²)=x²
donc 3 divise x²
comme 3 est premier donc 3 divise y
b)
donc x=3x' et y=3y'
9k=3x²+7y²
=27(x')²+63(y')²
donc
k=3(x')²+7(y')²
donc k est un élément de A
c) si n appartient à A on a 9=3² donc d'après 1) n3² appartient à A
réciproquement si 9n appartient à A d'après 3a) et 3b) n appartient à A
donc il y a équivalence "n appartient à A si et seulement si 9n appartient à A"
4a)
k = 0 1 2 3 (4)
k² = 0 1 0 1 (4)
b)
n=3x²+7y²
=3x²+3y² (4)
=3(x²+y²) (4)
si x=0 et y=0 (4) alors n=0 (4)
si x=0 et y=1 (4) alors n=3 (4)
si x=1 et y=0 (4) alors n=3 (4)
si x=1 et y=1 (4) alors n=6 (4) = 2 (4)
donc n est congrue à 0 ou à 2 ou 3 modulo 4
c) n=3x²+7y²
=y² (3)
d'après le petit th de Fermat si y=0 (3) alors y²-1=2 (3) et si 3ne divise pas y alors y²=1 (3)
donc
n=0 ou à 1 modulo 3
Partie II)
n=3x²+7y²
1)
7y²<=n donc y<=V(n/7)
2)
Entrer N
Dans K mettre E[V(N/7)] ; E[]=Partie entière et V()=Racine carré
Pour Y de 0 à K
Si MOD(N-7y²;3)=0 alors ; MOD(a;b)=reste de la division euclidienne de a par b
Dans X mettre (N-7y²)/3
Afficher X et Y
Fin de la boucle pour
Partie III)
fais tourner l'algorithme suivant pour trouver le plus petit élément de A inférieur ou égal à 2014.
Entrer 2014
Dans K mettre E[V(2014/7)] ; E[]=Partie entière et V()=Racine carré
Dans N mettre 2014
Pour Y de 0 à K
Si MOD(2014-7y²;3)=0 alors ; MOD(a;b)=reste de la division euclidienne de a par b
Dans X mettre (2014-7y²)/3
dans M mettre 3x²+7y²
si M<=N
dans N mettre M
fin Si
Fin de la boucle pour
Afficher N
Fin programme
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