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Diamètre d'un ensemble

Posté par
Yona07
16-11-21 à 21:03

Bonjour!

Soit A une partie non vide et bornée de .

Montrer que: sup_{_{(x;y)\in A^2}}|x-y|=sup(A)-inf(A).


A est une partie non vide et bornée de , alors sup(A) et inf(A) existent.

Posons B=\{|x-y| ; (x;y)\in A^2\}

Soient x et y deux éléments de A.

\text{On a alors : }|x-y|\leq sup(A)-inf(A)\\ \text{Donc : } sup(B)\leq sup(A)-inf(A)\\ \text{c-à-d : } sup_{_{(x;y)\in A^2}}|x-y|\leq sup(A)- inf(A)\; \; *

Je veux montrer l'inégalité dans l'autre sens  pour en aboutir à une égalité... mais ça ne marche pas..

Merci d'avance ^^

Posté par
Zormuche
re : Diamètre d'un ensemble 16-11-21 à 22:48

Bonjour

Je ne sais pas ce que tu connais sur les bornes supérieures

Mais une propriété très utile est la suivante :

S = \sup(A) \quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases}S \text{ est un majorant de }A \\ \text{Il existe une suite d'éléments de }A\text{ qui converge vers }S\end{cases}

Tu as déjà montré que  \sup(A)-\inf(A)  est un majorant de  B. Reste à montrer qu'il existe une suite de B  qui converge vers  \sup(A)-\inf(A)

Posté par
Yona07
re : Diamètre d'un ensemble 16-11-21 à 23:34

Bonjour!
Merci pour avoir répondu.

Ce que je sais est une caractérisation de la borne supérieure par les epsilons:

Soit K un corps totalement ordonné et soit A une partie de K tel que sup(A) existe.

M=sup(A)\Leftrightarrow \begin{cases} \text{Pour tout } a \in A, a\leq M \\ \text{Pour tout }\epsilon \in K_+^*, \text{ il existe }a_\epsilon \in A; a_\epsilon >M-\epsilon \end{cases}


En relation avec ce que vous avez proposé:

sup(A)-inf(A)=sup(B)\Leftrightarrow \begin{cases} \text{Pour tout } d\in B, d\leq sup(A)-inf(A) \text{ où } d=|x-y| \\ \text{Pour tout }\epsilon \in R_+^*, \text{ il existe } d_\epsilon \in B \; ;d_\epsilon >sup(A)-inf(A)-\epsilon \end{cases}

Et donc :

sup(A)-inf(A)=sup(B)\Leftrightarrow \begin{cases} \text{Pour tout } d\in B, d\leq sup(A)-inf(A) \text{ où } d=|x-y| \\ \text{Pour tout }\epsilon \in R_+^*, \text{ il existe } d_\epsilon \in B \; ;|d_\epsilon- sup(A)+inf(A)|<\epsilon \end{cases}


?

Posté par
Zormuche
re : Diamètre d'un ensemble 17-11-21 à 00:34

Oui, on peut le faire comme ça aussi.

Soit epsilon un réel strictement positif

Il va falloir appliquer cette dernière caractérisation à sup(A) et à inf(A), tous les deux non pas avec epsilon mais avec epsilon/2.

Cela permet de faire apparaître epsilon en sommant les deux inégalités

Posté par
Yona07
re : Diamètre d'un ensemble 17-11-21 à 00:52

On sait qu'il existe un x de A tel que x> sup(A)-/2 et qu'il existe un y de A tel que y<inf(A)+/2

Ceci nous permet d'aboutir au résultat souhaité.

Merci Zormuche!

Posté par
Zormuche
re : Diamètre d'un ensemble 17-11-21 à 07:54

Il y a un tout petit hic cependant : x-y n'appartient pas forcément à B

Mais tout cela n'est qu'une illusion : il suffit au départ de prendre rajouter la condition epsilon<supA-infA, ce qui assure que x>y, donc x-y=|x-y|B

Posté par
Zormuche
re : Diamètre d'un ensemble 17-11-21 à 07:55

Je ne me suis pas relu

Citation :
il suffit au départ de prendre rajouter la condition



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