Niveau Lycéen curieux

Différence symétrique

Posté par
kaitokid 08-09-21 à 14:13

Bonjour tout le monde.
Voici une équivalence que j'ai démontré mais j'en suis pas si sûr si c'est juste ou non
A∆(nonB)=A∆(nonC)B=C
J'ai démontré l'implication B=CA∆(nonB)=A∆(nonC) Puis j'ai démontré sa contraposée..c'est à dire BCA∆(nonB)A∆(nonC)
Or je veus savoir comment démontrer l'implication A∆(nonB)=A∆(nonC)B=C ( si on peut d'ailleurs la démontrer car ça fait une heure que je bosse sur sa démonstration mais envin)
N'importe quel indice me serait d'une immense aide. Merci d'avance

Posté par re : Différence symétrique 08-09-21 à 14:58

Si B=C alors l'autre expression est vraie.
Ok. Tu l'as démontré, bien. (facile)

Puis tu dis que tu as démontré la contraposée : $B \neq C$ entraine ...

Si tu as démontré ces 2 propriétés, alors ca y est, tu as démontré ce que tu voulais.

Posté par re : Différence symétrique 08-09-21 à 16:16

salut

je note A* le complémentaire ...

$A \Delta X = (A \cap X^*) \cup (A^* \cap X)   (1)$

on suppose que $A \Delta B^* = A \Delta C^*  (2)$

soit $x \in A \Delta B^*$

il y a deux cas :

$x \in A$   donc d'après (1) $x \notin B^* \iff x \in B$ et d'après (2) $x \notin C^* \iff x \in C$

$x \notin A$ donc d'après (1) $x \in B^*$ et $x \in C^*$ d'après (2) ...ce qui est équivalent à $x \in B \iff x \in C$

dans les deux cas on en conclut que : $x \in B \iff x \in C$ ...