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Différents problèmes : continuité et dérivées

Posté par MelduQC (invité) 07-10-07 à 01:36

Bonjour,

J'ai un devoir à remettre lundi et il y a plusieurs numéros que je ne comprends pas. J'apprécierais beaucoup que vous m'expliquiez comment les résoudre svp! Je ne trouve pas de démarches appropriées Je précise que c'est mon premier cours de calcul différentiel et intégral. Je suis en première session au cégep, donc je suis au niveau pré-universitaire ici (Québec), mais comme on ne voit pas les mêmes notions en même temps et que ça semble correspondre à ce que vous faites au lycée, j'ai mis mon message dans cette section.

Dans la continuité, voilà le # qui me pose problème :

Soit f(x) = {x³ si x < 1
             x² + bx + a si x ≥1

a) À quelle condition la fonction f est-elle continue en x = 1?

J'ai utilisé f(x) = x² + bx + a, ce qui m'a donné 1 = 1 + b + a
Donc b = -a
Ça c'est la démarche que j'avais écrite, mais je viens de voir que j'étais dans le champ puisque c'est pas f(x) = 1 mais x = 1, donc je ne peux pas dire que (1 + b + a) = 1, c'est plutôt = 0...

Bref, je ne me rappelle pas pourquoi j'avais écrit ça et même si j'ai la bonne réponse, j'aurais besoin de qq explications pour savoir quelle démarche j'aurais dû faire...

b) En utilisant le résultat trouvé précédemment, trouver les valeurs de a et de b sachant que la limite suivante existe :

lim     (f(1+h)-(f1))/h    
h -> o

J'ai essayé plusieurs démarches et je n'ai pas réussi à obtenir la bonne réponse, qui est a = -1 et b = 1.

Dérivées

5. Trouver la dérivée des fonctions suivantes en se servant de la définition de la dérivée
lim      (f(x + ∆x) - f(x))/∆x
∆x -> 0
Calculer ensuite f'(0), f'(1) et f'(-2).

b) f(x) = 4/(x-1)
d) f(x) = 1/√2

Je connais les règles des dérivées et je suis capable de les appliquer, mais dans ce problème, on n'a pas le droit de les utiliser, il faut le faire avec la limite et je n'arrive pas à manipuler ce calcul... Pourriez-vous m'expliquer comment faire svp?

Dernier problème : Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée première.

27. y = 8/(x³-5x)1/2
Voilà mon calcul :
y' = ([8]'(x³-5x)1/2 - [(x³-5x)1/2]'(8)) / (x³-5x)1/2
y' = -8(1/2(3x²-5)-1/2)/(x³-5x)1/2
y' = -4/(3x²-5)1/2((x³-5x)1/2)

La réponse du corrigé est : y' = -4(3x²-5)/(x³-5x)3/2

Comment y parvenir?

Je sais que ça fait beaucoup de questions, j'en suis désolée, mais si vous pouviez m'aider pour n'importe lequel de ces problèmes, ce serait très apprécié!

Merci beaucoup d'avance,

Mélissa

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Différents problèmes : continuité et dérivées 07-10-07 à 09:12

Bonjour,

a) La limite en 1- est : 1
La limite en 1+ est 1+a+b
La fonction est continue si et seulement si ces deux limites sont égales, c'est-à-dire si a+b=0

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Différents problèmes : continuité et dérivées 07-10-07 à 09:20

b)

Si 3$\fbox{h<0}, alors :
3$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^3-1^3}{h}=...=3+3h+h^2\to 3

Si 3$\fbox{h>0}, alors :
3$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^2+b(1+h)-1-b}{h}=...=h+2+b\to 2+b

Or on sait que 3$\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} (c'est-à-dire que la fonction est dérivable en 1).
Donc les limites quand 3${h\to 0\\h< 0} et 3${h\to 0\\h> 0} doivent être les mêmes.
Donc 3 = 2+b
Donc b = 1
Or a+b = 0
Donc a = -1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Différents problèmes : continuité et dérivées 07-10-07 à 09:25

5)b)
3$\begin{array}{rcl} \\ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} &=& \frac{\frac{4}{x+\Delta x-1}-\frac{4}{x-1}}{\Delta x}\\ \\ &=& \frac{4(x-1)-4(x+\Delta x-1)}{\Delta x(x-1)(x+\Delta x-1)}\\ \\ &=& \frac{-4\Delta x}{\Delta x(x-1)(x+\Delta x-1)}\\ \\ &=& \frac{-4}{(x-1)(x+\Delta x-1)}\\ \\ &\to& \fbox{\frac{-4}{(x-1)^2}} \\ \end{array}

Posté par MelduQC (invité)re : Différents problèmes : continuité et dérivées 07-10-07 à 14:55

Merci beaucoup de m'avoir répondu aussi rapidement! Pour le moment, je n'ai pas le temps de regarder vos démarches, mais dès mon retour, je vais comparer avec ce que j'ai fait pour déterminer mes erreurs.

Merci encore

Si d'autres ont une solution pour les autres problèmes, ce serait très apprécié aussi!

Posté par MelduQC (invité)re : Différents problèmes : continuité et dérivées 08-10-07 à 15:43

Up. Svp

Posté par MelduQC (invité)re : Différents problèmes : continuité et dérivées 09-10-07 à 04:57

Re-up!

J'aimerais surtout comprendre le 5b), svp!

Posté par
garnouillere : Différents problèmes : continuité et dérivées 09-10-07 à 05:05

les calculs de Nicolas sont "impeccables" pour 5b), à quelle ligne bloques-tu?
on réduit au même dénominateur et on utilise : 10$ \frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{b} \times \frac{1}{c}=\frac{a}{bc}

Posté par MelduQC (invité)re : Différents problèmes : continuité et dérivées 09-10-07 à 12:32

Désolée, je voulais dire le 5d)

f(x) = 1/√x (j'ai fait une erreur dans mon premier message mais je ne peux pas éditer)

Voilà ma démarche :

\lim_{x\to \0} (1/√(x+∆x) - 1/√(x)) / ∆x
(désolée pour la notation mais ce serait long de tout réécrire)
= (√(x) - √(x+∆x)) / ∆x√(x(x+∆x)) x (√(x(x+∆x)/√(x(x+∆x))
= -∆x/(∆x(x(x+∆x)))
= -∆x/∆x(x²+x∆x)
= -1/(x²+x∆x)

La bonne réponse est : f'(x) = -1/(2√(x³))

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Différents problèmes : continuité et dérivées 09-10-07 à 12:35

Citation :
= (√(x) - √(x+∆x)) / ∆x√(x(x+∆x)) x (√(x(x+∆x)/√(x(x+∆x))

Pourquoi multiplies-tu par ce que tu as marqué à droite ?
Il faut multiplier par la quantité conjuguée (√(x) + √(x+∆x))/(√(x) + √(x+∆x))

Posté par MelduQC (invité)re : Différents problèmes : continuité et dérivées 09-10-07 à 13:01

Bien je l'ai multiplié par ça parce qu'il n'y a justement pas d'addition/soustration au dénominateur, alors je ne vois pas comment je peux multiplier par (√(x) + √(x+∆x))/(√(x) + √(x+∆x))

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Différents problèmes : continuité et dérivées 09-10-07 à 13:09

Le taux de variation est :
3$A = \frac{\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\Delta x}
3$A = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+\Delta x}}{\Delta x\sqrt{x}\sqrt{x+\Delta x}}
On multiplie numérateur et dénominateur par 3$\sqrt{x}+\sqrt{x+\Delta x} :
3$A = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x+\Delta x})(\sqrt{x}+\sqrt{x+\Delta x})}{\Delta x\sqrt{x}\sqrt{x+\Delta x}(\sqrt{x}+\sqrt{x+\Delta x})}
Au numérateur, on reconnaît une identité remarquable (a-b)(a+b) = a²-b² :
3$A = \frac{x-(x+\Delta x)}{\Delta x\sqrt{x}\sqrt{x+\Delta x}(\sqrt{x}+\sqrt{x+\Delta x})}
3$A = \frac{-\Delta x}{\Delta x\sqrt{x}\sqrt{x+\Delta x}(\sqrt{x}+\sqrt{x+\Delta x})}
3$A = \frac{-1}{\sqrt{x}\sqrt{x+\Delta x}(\sqrt{x}+\sqrt{x+\Delta x})}\to\frac{-1}{\sqrt{x}\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{x})}=\fbox{\frac{-1}{2\sqrt{x^3}}}

Posté par MelduQC (invité)re : Différents problèmes : continuité et dérivées 09-10-07 à 13:23

Merci beaucoup Nicolas! Je comprends ce que tu veux dire. Je ne savais même pas que l'on pouvait se servir du numérateur pour multiplier par son conjuguée... Quoique je me rappelle l'avoir déjà fait alors ça m'était plutôt sorti de la tête en fait!

Merci encore!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Différents problèmes : continuité et dérivées 09-10-07 à 13:24

Même si tout est possible, en général la quantité conjuguée sert à transformer le numérateur.

Je t'en prie.


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