La topologie (du grec: discours du lieu) est un domaine extrêmement vaste des mathématiques dont il est difficile de définir avec exactitude l'objet dont elle fait l'étude tellement les domaines où elle existe sont variés (topologie de la droite réelle, topologie des graphes, topologie différentielle, topologie complexe, topologie symplectique,...).

La topologie est très intimement liée à la théorie des ensembles, à l'étude de convergence des suites et séries, à l'analyse fonctionnelle, à l'analyse complexe, au calcul intégral et différentiel, au calcul vectoriel et à la géométrie pour ne citer que les cas les plus importants.

L'origine de la topologie provient des problèmes qu'ont posé les progrès de l'analyse fonctionnelle dans l'étude rigoureuse des fonctions continues, de leur dérivabilité, de leurs limites en un point (fini ou non), de l'existence d'extremums, etc. dans des espaces de dimensions supérieures.

La topologie a pour objectif de créer des outils qui permettent facilement d'étudier les propriétés des fonctions dans toutes les dimensions. Tous ces concepts, demandaient pour le mathématicien une définition rigoureuse de l'idée intuitive de proximité, tout particulièrement lors d'opérations sur ces fonctions.

Afin de pouvoir définir une sorte de dénominateur commun à toutes ces sciences, il a fallu donner une définition la plus générale possible, la plus simple et la plus cohérente en même temps. Bien sûr, il a fallu y aller par tâtonnement, presque à l'aveugle, faire de nombreux ajustement pour partir de cette notion mathématiquement vague de "élément suffisamment proche d'un autre" à la notion très précise d'ensemble ouvert et de son confrère le voisinage; en effet, comment donner un sens purement analytique à des notions purement géométriques en respectant la logique déjà fort avancée de la théorie des ensembles ?

Et ce long travail d'élaboration a donné ce que je considère comme un chef d'œuvre : LA définition d'une topologie  et son pendant, la famille unique de voisinages associée, dont je ne résiste pas au plaisir de retracer ici :

Soit E un ensemble quelconque, et une famille de partie de E.
On dit que est une topologie sur E si les 2 conditions suivantes sont vérifiées :
1- Toute réunion quelconque d'éléments de est un élément de
2- Toute intersection finie d'éléments de est un élément de .
Le couple (E, ) s'appelle espace topologique.

(On peut rajouter comme axiome que E et doivent être des éléments de , mais ce n'est pas nécessaire : la définition l'implique)

On ne peut pas faire plus concis.
Et c'est cette extrême concision de la définition de base qui donne à la topologie des développements immenses.

J'ai parlé de famille unique de voisinages associée.
Soit (E, ) un espace topologique.
A tout point x de E, on associe une famille V(x) de voisinages de la façon suivante :
Une partie V de E appartient à V(x) Il existe un élément tel que {x} V.

Les éléments de V(x) jouissent des propriété suivantes :

V1 : XE, VV(x), (V X X V(x))
V2 : Toute intersection finie d'éléments de V(x) est un élément de V(x)
V3 : VV(x), xV(x)
V4 : VV(x), WV(x), yW, V V(y).

Notez que V2 équivaut à : E V(x) et V et V' V(x), V V' V(x)

Ces 4 propriétés sont caractéristiques, c'est à dire que si à tout élément x d'un ensemble E, on fait correspondre un ensemble V(x) de parties de E vérifiant ces 4 propriétés, alors il existe une unique topologie sur E telle que pour tout xE, V(x) soit l'ensemble des voisinages de x pour cette topologie.

Conclusion :
A une topologie correspond une unique famille de voisinages engendrée par .
Un système de voisinage vérifiant V1 V2 V3 et V4, sur un ensemble E, définit une unique topologie.

A ceci, vous rajoutez l'indissociable notion de filtre et vous obtenez tous les outils de base nécessaires pour parler de limite et de continuité.

A ceci vous rajoutez l'axiome de Hausdorff et vous obtenez la notion d'espace compact.

A ceci vous rajoutez la notion de structures uniformes et vous obtenez les outils nécessaires à l'élaboration des fonctions uniformément continues, des filtres de Cauchy et donc des espaces complets.

Enfin, une dose d'algèbre, et on obtient les groupes topologiques.

etc etc etc etc

Voilà le début d'une longue aventure dont on est fondé à croire qu'elle n'est pas prête de s'arrêter.