Bonjour,

La consigne ne stipule pas plutôt un diviseur distinct de 1 ? Car sinon 1 divise tout entier et en particulier k et n donc le lemme perd en intérêt ...

Si effectivement tu veux montrer que k et n ont nécessairement un diviseur distinct de 1 en commun je te propose une démonstration par l'absurde :

Supposons que k et n n'ont - à part 1 - aucun diviseur commun. Cela revient à dire que n et k sont premiers entre eux et donc d'après le théorème de Bézout il existe deux entiers x et y tels que kx+ny=1, en multipliant par m on obtient : kmx+nmy=m (1).

D'autre part, comme n divise km alors il existe un entier k' tel que km=k'n.

Notre relation (1) s'écrit donc en substituant km par k'n : k'nx+nmy=m. En factorisant par n on trouve alors : n(k'x+my)=m, ce qui montre que n divise m, d'où une contradiction car n>m.

En espérant t'avoir aidé !

PS : pas sûr que ce soit la démonstration "optimale" par contre, je ne suis même pas sûr qu'elle soit correcte, prends donc avec des pincettes mon résultat

Bonjour


Si était premier avec on aurait , ce qui est impossible puisque

Bonjour;

Oui, bien sûr c'était un diviseur distinct de un , oubli de ma part...

La réponse de Camélia me va très bien, je dois être bien fatigué de ne pas avoir pensé à Gauss...

Encore Merci à tous les deux.