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Divisibilité par 9

Posté par
YukDabloch 18-10-17 à 16:14

Bonjour, j'aurais besoin d'un peu d'aide pour mon exercice de spé maths... Voici la question : "Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 22n + 6n -1 est divisible par 9".
A mon avis, comme n est un entier naturel, il fait raisonner par récurrence. Je pose la propriété P(n) : 22n + 6n -1 = 9k, k .
Je fais l'initialisation pour n = 1, et  22 + 6*1 -1 = 9.
Je pose ensuite P(n+1) : 22(n+1) + 6(n+1) -1 = 9k', k' . Après développement, j'obtiens 22n+2 + 6n+ 5, mais je n'arrive pas à montrer qu'il est divisible par 9...

Eventuellement, j'avais pensé à raisonner par disjonction des cas, mais je ne pense pas que ce soit la méthode à utiliser étant donné qu'on aurait 9 cas.

Posté par
Nanou2bre : Divisibilité par 9 18-10-17 à 16:18

Bonjour,

Tu es bien parti avec ta récurrence...
L'astuce, avec les puissances dans les récurrences, c'est souvent de séparer 2^{2n+2}=2^n \times 2^2.
Puis tu utilises ton hypothèses de récurrence pour exprimer 2^n

Bon courage

Posté par
Nanou2bre : Divisibilité par 9 18-10-17 à 16:20

Pardon, léger oubli en tapant. C'est : 2^{2n+2} = 2^{2n} \times 2^2

Posté par
Glapion Moderateurre : Divisibilité par 9 18-10-17 à 16:21

Bonjour,
oui poser 22n + 6n -1 = 9k très bien

après dans 22(n+1) + 6(n+1) -1 = 4*22n +6n+5

utiliser l'hypothèse de récurrence et remplacer 22n par 9k-6n+1 et tu vas tomber sur un multiple de 9

Posté par
mathafou Moderateurre : Divisibilité par 9 18-10-17 à 16:23

Bonjour,

il ne faut pas développer autant Pn+1 mais au contraire chercher à faire apparaitre Pn dedans (en fait 4Pn ...)

sinon tu n'auras rien du tout car tu n'utilises à aucun moment l'hypothèse que Pn multiple de 9

Posté par
YukDablochre : Divisibilité par 9 18-10-17 à 16:33

Merci !
Effectivement, j'avais pensé à développer 22(n+1) en 22 + 22n, mais je n'avais pas pensé l'exprimer avec P(n).

Posté par
mathafou Moderateurre : Divisibilité par 9 18-10-17 à 16:36

pas plus, multiplié (faute de frappe j'espère)

Posté par
LeBeauCosre : Divisibilité par 9 18-10-17 à 17:26

Bonjours ou sinon si tu connais les congruences tu peux dire que :
2^{2n} +6n-1=4^{n}-1+6n
4^{n}-1+6n=(4-1)(1+4+4^{2}+...+4^{n-1})+6n
4^{n}-1+6n=3(1+4+4^{2}+...+4^{n-1}+2n) on n'en conclue que
2^{2n} +6n-1 est divisible par 3 , montrons que
1+4+4^{2}+...+4^{n-1}+2n est aussi divisible par 3 le tout sera donc divisible par 9 : En utilisant les congruences :
1+4+4^{2}+...+4^{n-1}+2n\equiv 1+1+1....+1+2n [3]
1+4+4^{2}+...+4^{n-1}+2n\equiv n\times 1+2n \equiv 3n \equiv 0[3]
Voilà !!

Posté par
coa347re : Divisibilité par 9 18-10-17 à 19:31

Bonsoir,

2^{2n+2}+6(n+1)-1

=4*2^{2n}+6n+5

=4(2^{2n}+6n-1)-18n+9=...

Posté par
YukDablochre : Divisibilité par 9 18-10-17 à 19:31

Désolé LeBeauCos, je n'ai pas encore vu les congruences, donc je n'ai pas vraiment compris...

Et oui faute de frappe, ce n'est pas 2²+22n mais bien 2²*22n. J'ai écrit ça vite fait juste avant de partir. Je viens d'ailleurs de revenir (d'où la réponse tardive) et de finir mon exercice, tout marche parfaitement

Posté par
YukDablochre : Divisibilité par 9 18-10-17 à 19:41

coa347 je n'ai pas fait comme ça :
P(n+1) : 22n+2 + 6n +5 = 4*22n +6n +5.
Selon P(n) : 22n +6n -1 = 9k   <=>   22n = 9k - 6n +1
Alors P(n+1) : 4(9k - 6n +1) + 6n +5 = 36k - 24n + 4 + 6n + 5 = 9(4k - 2n +1). Comme k, n, alors (9(4k - 2n +1)). Donc 22n+2 + 6n +5 est divisible par 9.
Ca marche aussi, je suppose.

Posté par
coa347re : Divisibilité par 9 18-10-17 à 23:51

Ça marche aussi. C'est seulement un peu plus long.

Dans l'autre solution, on termine en disant 9 divise 2^(2n)+6n-1 et divise -18n+9, donc 9 divise ...


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