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Division de polynômes

Posté par
pppa 26-02-24 à 17:24

Bonjour

Comment choisir l'entier positif n tel que le polynôme

P(x) = (x + 1)^{n} - (x - 1)^{n} soit divisible par x^{2} + 1 ?

Les racines de  x^{2} + 1 étant i et -i, j'ai essayé de résoudre P(i) = 0, sans aboutir.

Par essais sur  n = 2, 3, 4.......10, à l'aide du triangle de Pascal et d'un logiciel en ligne (Planetcalc), il semblerait que la réponse soit n = 2 + 4n' ; n' \in N.

Mais comment le prouver de façon générale, (si c'est la bonne réponse..).

Merci par avance pour votre aide

Posté par
pppare : Division de polynômes 26-02-24 à 17:26

Pardon, c'est P(x) = (x + 1)^{n} + (x-1)^{n}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Division de polynômes 26-02-24 à 18:01

Bonjour,
Écris P(i) puis utilise des formes trigonométriques ou exponentielles.
Idem avec P(-i).

Posté par
candide2re : Division de polynômes 26-02-24 à 18:15

Bonjour,

Avec n = 2 par exemple :
(x+1)² - (x-1)² = x² + 2x + 1 - (x² - 2x +1)

(x+1)² - (x-1)² = 4x ... qui n'est pas divisible par (x²+1)

Donc tes solutions ont un soucis.

Je pense qu'il faut n = 4k (k dans N)

J'ai l'impression que tu es parti de P(x) = (x+1)^n + (x-1)^n au lieu de P(x) = (x+1)^n - (x-1)^n

Posté par
pppare : Division de polynômes 26-02-24 à 18:47

>> Sylvie
Pour P(i) = 0 j'aboutis à :
(cos \frac{n \pi}{4} + cos \frac{3n \pi}{4}) + i. (sin \frac{n \pi}{4} + sin \frac{3n \pi}{4}),
j'en déduis qu'il faut que la partie réelle et la partie imaginaire doivent être nulles simultanément.
Comment en déduire les valeurs de n qui répondent à la question, même en essayant l'écriture exponentielle

e^\frac{i \pi n}{4} + e^\frac{i 3 \pi n}{4} = 0

Poser P(-i) ne semble pas devoir m'avancer plus.

Posté par
carpediemre : Division de polynômes 26-02-24 à 19:05

salut

factorise par le premier terme de la somme

et sachant qu'une exponentielle ne s'annule pas ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Division de polynômes 26-02-24 à 19:06

Plus simple :
Pour x 1 on a :
P(x) = 0 ((x+1)/(x-1))n = -1.
On peut en déduire ceci :
P(i) = 0 (-i)n = -1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Division de polynômes 26-02-24 à 19:07

Bonsoir carpediem

Posté par
candide2re : Division de polynômes 26-02-24 à 19:12

Rebonjour,

Je n'avais pas vu le message du  26-02-24 à 17:26

On peut aussi essayer avec le binôme de Newton appliqué sur (x+1)^n et sur (x-1)^n

On aura (x+1)^n + (x-1)^n = polynôme avec des termes de puissances paires uniquement et avec x = i ...

Posté par
candide2re : Division de polynômes 26-02-24 à 19:14

La réponse de Sylvieg est idéale.

Posté par
pppare : Division de polynômes 27-02-24 à 23:01

Bonsoir à toutes et tous

Effectivement, la solution proposée par Sylvie est astucieuse.

Et pour P(-i) = 0, in aboutit directement à   i^{n} = -1.

LES solutions pour n  entier positif sont donc bien celle que j'avais 'devinées' intuitivement, mais comme faire des mathématiques, ce n'est pas jouer aux devinettes,  ainsi c'est établi 'proprement'.

Quant à l'exclusion de la valeur x = 1, elle doit nécessairement se poser puisque P(1) = 0  conduirait à 2^{n} = 0.

Merci aux intervenant(e)s, et là tout particulièrement à Sylvie.

Posté par
pppare : Division de polynômes 29-02-24 à 10:48

Rebonjour

je poursuis sur ce sujet, en ayant comme diviseur cette fois

x^{2} + 3, dont les racines sont   i\sqrt{3} et -  i\sqrt{3}.

J'ai pensé qu'en appliquant la même méthode que précédemment, suggérée par Sylvie, et qui a été efficace pour x^{2} + 1 comme diviseur, je trouverais facilement la solution.

En posant P( i\sqrt{3}) = 0,  j'arrive à :

(1 +  i\sqrt{3})^{n} = -( i\sqrt{3} - 1)^{n} puis, après les mêmes types de calcul que précédemment à :

(\frac{(1 +  i\sqrt{3})^{2}}{-4})^{n} = -1 (puissance n après la parenthèse fermante), soit après développements et simplifications

(\frac{-1 +  i\sqrt{3}}{-2})^{n} = -1 , ce que je transforme en

e^{i.\frac{5\pi}{3}.n} = -1, équation évidemment impossible. Malgré mes recherches, notamment en distinguant n pair de n impair,  et en refaisant les calculs, je ne parviens pas à voir où est l'erreur.

Et pourtant, il semble que la réponse serait  n = 3 + 6n' ,  n' \in N, ce que j'ai vérifié en détail pour n = 3

Alors, où est la faille dans mon raisonnement ? Merci par avance pour votre aide

Posté par
carpediemre : Division de polynômes 29-02-24 à 14:45

e^{-i n \frac \pi 3} = -1 = e^{i(2k + 1)\pi} \iff n \dfrac \pi 3 = (2k + 1) \pi \iff n = 3(2k + 1)

Posté par
pppare : Division de polynômes 29-02-24 à 23:30

>> Carpediem : Un très grand merci pour cette explication précise et concise.

Je me permets toutefois une question ; en toute rigueur, puisque la bonne écriture qui permet d'avancer c'est de considérer la mesure d'angle -\frac{\pi}{3} et non \frac{5\pi}{3} (mauvais réflexe de considérer a priori la mesure à retenir dans les calculs entre 0 et 2\pi ), ne faudrait-il pas écrire :

-\frac{n}{3} = 2k + 1  ( k \in Z ) soit \frac{n}{3} = -2k - 1  ( k \in Z ) et donc n = 3.(-2k-1), en précisant puisque  n doit être un entier positif,  -2k-1 \leq 0 soit k \leq -\frac{1}{2}, et l'on amorce les calculs avec k = -1, jusqu'à -\infty, k \in Z, et...ça colle, non ?

Merci encore pour tes interventions.

Philippe

Posté par
carpediemre : Division de polynômes 01-03-24 à 09:24

oui j'ai oublié le moins et ce que tu fais convient mais on aurait aussi pu écrire :

carpediem @ 29-02-2024 à 14:45

e^{-i n \frac \pi 3} = -1 = e^{-i(2k + 1)\pi} \iff ...


et on peut le faire aussi avec 5pi/3 :

e^{i n 5\frac \pi 3} = -1 = e^{i(2k + 1)\pi} \iff n 5\dfrac \pi 3 = (2k + 1) \pi \iff 5n = 3(2k + 1) \iff 5n - 6k = 3 \iff 5(n - 3) = 6(k - 2)

et vu que  5 et 6 sont premiers entre eux on en déduit qu'il existe un entier p tel que n - 3 = 6p (et k - 2 = 5p) donc n = 3(2p + 1) (et k = 5p + 2)

ensuite on se restreint aux entiers adéquats pour que n soit positif ...

Posté par
pppare : Division de polynômes 01-03-24 à 17:47

Effectivement, et c'est plus 'élégant' de faire varier les entiers  positifs  dans \mathbb{N}, plutôt que des les déterminer en progression 'descendante' dans \mathbb{Z}_.

Ce que je retiens principalement c'est que :
-1, ce n'est pas que \cos \pi + i \sin \pi, c'est aussi e^{i \pi}, et aussi   e^{i.(2k+1) \pi} k \in \mathbb{Z}.

Encore merci

Posté par
carpediemre : Division de polynômes 01-03-24 à 19:35

de rien et bonne continuation

oui un argument n'est pas tous les arguments


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