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Niveau terminale
DM Combinatoire et dénombrement
Posté par Desertique
Bonsoir !
Je mets l'énoncé:
Soient A un ensemble non vide à n éléments et k un entier naturel. On souhaite déterminer le nombre de combinaisons de k éléments de A avec répétitions.
Si on note {x1 ; x2 ; ... ; xn} les éléments de A, cela revient à construire un n-uplet (k1 ; k2 ; ... ; kn) de {0 ; 1 ; … ; k}.
L‘entier représente le nombre de fois où on a choisi l‘élément
et la somme des ki vaut k.
Par exemple, si A={a ; b ; c ; d} et k=6, le n-uplet (0;2;3;1) correspond au choix de 0 fois a, 2 fois b, 3 fois c et 1 fois d.
1. On considère le mot 000…0, où le chiffre 0 apparaît n+k−1 fois. On souhaite remplacer k de ces 0 par 1. De combien de manières différentes peut‑on procéder ?
2. Comment faire correspondre à ce nouveau mot un n-uplet (k1 ; k2 ; ... ; kn)
comme défini dans l'énoncé ?
3. En déduire que le nombre de combinaisons à k éléments de A, avec répétitions, est (n+k-1 / k) ( y a pas de trait de fractions entre les 2 mais je savais pas comment l'écrire sur ordinateur)
4. Application 1 : On dispose de fleurs jaunes, roses, rouges et bleues et on souhaite faire un bouquet de dix fleurs. Combien de bouquets différents peut‑on constituer ?
5. Application 2 : Combien de triplets (x;y;z) d'entiers naturels tels que x+y+z=50 existe‑t‑il ?
Alors voilà, j'ai beaucoup de mal à démarrer l'exercice, je comprend pas trop la consigne, je ne sais pas par où il faut commencer. Est ce que quelqu'un aurait la gentillesse de me donner un coup de pouce pour m'aider à comprendre et me dire par quoi je dois commencer ?
Bonne soirée 
ps: désolé si le post est pas dans le bon chapitre, je n'ai pas trouvé dans la liste proposée
Bonsoiir
Je reviens donc vers ce sujet.
La question 1) me parait assez simple dans le résultat à donner, je pense qu'il faut juste appliquer une formule du cours. La question c'est: laquelle ? J'ai essayé tout et n'importe quoi, comment savoir quelle formule est la bonne ? Je suis vraiment bloquée
J'espère que quelqu'un pourra s'arrêter pour m'aider
Bonsoir,
Pour le 1), tu as n+k-1 façons de choisir le 1er 0, et il en reste alors n+k-2
Tu as alors n+k-2 façons de choisir le 2ème 0, etc
Pour k 0 à remplacer, le nombre cherché est donc (n+k-1)(n+k-2)...(n+k-k)
Ou encore (n+k-1)(n+k-2)...(n+1)n
LeHibou merci d'avoir répondu ! Je commençais à désespérer 
Ok pour le raisonnement, j'ai écris quelque chose dans le genre mais sans trouver le dernier facteur, soit (n+k-k)
Par contre, comment vous avez trouvé celui de la dernière ligne (n+k-1)(n+k-2)...(n+1)n ?
Ben si j'ai bien compris ta question, les facteurs sont décroissants de 1 en 1, et le dernier est comme tu l'as trouvé (n+k-k) = n, donc le précédent est (n+1)
Aah ok !
Bon je reviens demain pour la suite de l'exercice parce qu'il est un peu tard là. J'espère qu'il y aura quelqu'un pour m'aider
Merci en tout cas LeHibou d'avoir répondu pour la 1ère question
Je t'en prie, bonne fin de soirée et peut-être à demain 
En tout cas, à 21h au plus tard, je serai devant mon PC
salut
le développement donné par le Hibou n'est autre que celui de C(n+k-1,k)
la question 4 consiste à trouver le nombre de solutions de Roses+Rouges+ Bleues = 10
idem pour la question 5.
Je reviens pour la suite de l'exercice
2) Comment faire correspondre à ce nouveau mot un n-uplet (k1 ; k2 ; ... ; kn)
comme défini dans l'énoncé ?
Donc là il faut appliquer les définitions d'un arrangement et d'un n-uplet..
Le mot de départ "00...0" est composé de n+k-1 "0". L'ensemble des caractères qui composent ce mot est {x_1 ; x_2 ; ... ; x_n+k-1}.
Construire un n-uplet du nouveau mot formé parmi les (n+k-1)(n+k-2)...(n+1)n arrangements possible, où le chiffre "1" apparait k fois et le chiffre "0" apparait (n-1) fois revient à écrire (k_1 ; k_2 ; ... ; k_n+k-1) de {0 ; 1; ...; k}
Alors ? Je pense que j'ai un peu mélangé donc je ne pense pas que ça soit juste ..
En attendant que quelqu'un vérifie la question 2), j'ai essayé de faire la 3)
3. En déduire que le nombre de combinaisons à k éléments de A, avec répétitions, est (n+k-1 / k) ( y a pas de trait de fractions entre les 2 mais je savais pas comment l'écrire sur ordinateur)
Là on applique la définition d'une combinaison. Donc on veut le nombre de combinaisons possible de k "1" parmi les n+k-1 caractères qui composent ce mot. Cette combinaison est (n+k-1 / k)
....
Alors ?
avec ce que t'a donné le Hibou (n+k-1)(n+k-2)...(n+1)n n'est autre que C(n+k-1,k) que tu peut développer pour voir que finalement les expressions sont identiques
avec ce que t'a donné le Hibou (n+k-1)(n+k-2)...(n+1)n n'est autre que C(n+k-1,k) que tu peut développer pour voir que finalement les expressions sont identiques
rectification ; lire A={ 0, 1} avec le 2 -uplet {n-1,k} et une somme = k