Bonjour Lanou55

Tu dois commencé par calculer
f(x) - (2x - 3)
= ...
= 5/(x - 2)

Et :
lim 5/(x - 2) = 0
x +

La droite d'équation y = 2x - 3 est donc asymptote au voisinage
de l'infini à la courbe représentative de f.


- Etude de f -
f est dérivable sur ]2; +[ et :
f'(x) = [(2x - 7)(x - 2) - (2x² - 7x + 11)]/(x-2)²
= (2x² - 4x - 7x + 14 - 2x² + 7x - 11)/(x-2)²
= (- 4x + 3)/(x-2)²

Comme (x - 2)² est toujours strictement positif sur ]2; +[,
f' est du signe de (-4x + 3).

Tu étudies le signe de (-4x + 3) et tu conclus.



- Equation de la tangente -
elle est de la forme
y = f'(a)(x - a) + f(a)
avec a = 3 ici
Il ne reste plus qu'à faire les calculs.


- Tangente horizontale -
La courbe admet une tangente horizontale lorsque f'(x) = 0.
Tu résous l'équation et tu trouves les abscisses des points.



- Droite y = 2x -
y = 2x a pour coefficient directeur 2.

Une tangente parallèle à cette droite a donc pour coefficient directeur
2.
On résout donc l'équation
f'(x) = 2 pour trouver cette éventuelle tangente.
Tu verras que cette équation n'admet pas de solution dans ,
il n'existe donc pas de tangente parallèle à la droite d'équation
y = 2x.


A toi de tout reprendre, bon courage ...

f(x)=(2x²-7x+11)/(x-2)

f(x) - (2x-3) = [(2x²-7x+11)/(x-2)] - (2x-3)
=  [(2x²-7x+11)-(2x-3)(x-2)]/(x-2)
=  [(2x²-7x+11)-(2x²-7x+6)]/(x-2)
=  5/(x-2)

lim(x-> oo) [f(x) - (2x-3)] = lim(x->oo) [5/(x-2)] = 0

Et donc la droite d'équation y = 2x - 3 est asymptote oblique à
la courbe représentant f(x).
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f '(x) = ((x-2)(4x-7)-2x²+7x-11)/(x-2)²
f '(x) = (4x²-15x+14-2x²+7x-11)/(x-2)²
f '(x) = (2x²- 8x + 3)/(x-2)²

2x² - 8x + 3 = 0
x = [4 +/- V(16 - 6)]/2
x = 2 +/- ((V10)/2)

f '(x) < 0 pour x dans ]2 ; 2 + ((V10)/2)[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x =  2 + ((V10)/2)
f '(x) > 0 pour x dans ] 2 + ((V10)/2) ; oo[ -> f(x) croissante.

Il y a un minimum de f(x) pour x =  2 + ((V10)/2)
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La courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse =
  2 + ((V10)/2), pour lequel on f '(x) = 0.
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f(3) = 8
f '(3) =  -3
Tangente au point d'abscisse 3:
T: (y - 8) = -3(x - 3)
T : y = -3x + 17
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tangente // à y = 2x
Il faut f '(x) = 2
(2x²- 8x + 3)/(x-2)² = 2
(2x²- 8x + 3) =  2(x-2)²
2x²- 8x + 3 =  2(x²-4x + 4)
2x²- 8x + 3 =  2x²- 8x + 8
3 = 8
Ce qui est impossible
La courbe représentant f(x) n'admet pas de tangente parallele à
la droite dequation y=2x.
(si ce n'est à l'infini, voir asymptote oblique).
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Sauf distraction.    

Oups oui, j'ai fait une erreur dans la dérivée de la fonction
f.
Ce calcul est à reprendre.
Mais comme J-P t'a tout fait, il ne devrait pas y avoir de problème