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Niveau terminale
dm math
Posté par aznek123456
Bonjour, j'ai un dm à rendre pour la rentrée et je voulais savoir si mes réponses étaient justes, voici l'énnoncé:
Le numéro INSEE d'un individu est composé de 13 chiffres. Le premier des 13 chiffres est 1 ou 2 selon qu'il s'agit d'un homme ou d'une femme. Les deux suivants sont les deux derniers chiffres de l'année de naissance. ETC. Puis viennnent deux chiffres à la suite des 13 premiers qui représentent une clé de contrôle, notée K=97-r ou r correspond au reste de la division euclidienne du nombre A (constitué des 13ers chiffres) par97. Ici A= 2 69 05 49 588 157 et K=80
1) En ecrivant A sous la forme A=10^6 xB +C Démontrer que : 27B+C est congru à r modulo 97.
2) déterminer la clé de contrôle du numéro : 1 88 02 63 113 095
Mes réponses:
1) on connais K on peut donc trrouver r qui est égal à : r=97-K= 97-80=17
grâce à la calculatrice on trouve que : A= 10^6 x 2690549 +588157
avec B = 2690549 et C=588157
donc: 27B +C = 73232980
=97x 754979 +17
on a bien 27B+C congru à r (=17) modulo 97.
2) A l'aide de la calculatrice je trouve que : 1880263113095= 97x 19384155805 +10
donc: r=10 et K=97-r
=97-10
=87
Merci de bien vouloir m'aider.
Bonjour,
la calculatrice ne sert pas à grand chose dans cet exo
la 1ère question est justement pour que les calculs suivants puissent se faire sans calculatrice "de course" (avec un grand nombre de chiffres significatifs)
la valeur numérique de A est inutile dans cette question
il faut montrer que quel que soit A, c'est vrai.
r = A (97)
r = 10^6 B + C (97)
quel est le reste de 10^6 modulo 97 ?
on peut le faire à la calculatrice,
ou directement à la main !!
10^6 = 100^3
100 = 3 (97) est immédiate
et donc ...
pas besoin de calculette !! (comment ils faisaient avant ??)
2) le reste de 2 69 05 49 588 157 = 2690549×10^6 + 588157 s'obtient donc à partir des restes de 2690549 et de 588157
en utilisant la question 1 !!
les nombres les plus grands traités sont à 7 chiffres : 2690549
en calculant séparément les restes de 2690549 et de 588157
et en combinant ces restes par la formule de la question 1.
on peut d'ailleurs poursuivre ce procédé de découpage en tranches pour arriver à des calculs ne comportant au pire que des nombres < 97^2 < 10000
2) ou en partant de ce qui est demandé dans l'exo :
1880263113095 = 1880263×10^6 + 113095
et donc les restes de 1880263 et de 113095...
(au lieu de vérifier le premier nombre "A")
ah daccord! je n'avais pas compris qu'il fallait faire une généralitée du coup on a:
1) A congru a r(97) donc: 10^6B +C congru à r (97)
or: 10^6 congru à 27 (97)
donc: 10^6 B +C congru à 27B +C (97)
Ainsi : A est congru à r et à 27B+C modulo 97 donc
r est congru à 27B +C modulo 97.
2) On a : 1880263113095 = 1880263* 10^6 +113095
ici : B= 1880263 et C = 113095
27B+C = 27*1880263 + 113095 = 50880196
et 50880196= 97*524538 +10
donc 50880196 est congru à 10 modulo 97
on a donc: 50880196 congru à r et à 10 modulo 97 donc r est congru à 10 modulo 97
Puisque 0<r<97 alors r=10 et K =97-r
= 97-10= 87
tout bon.
pour la 2 il serait bon de simplifier "par modulo" avant d'effectuer les opérations, et pas seulement après
27B+C = 27*1880263 + 113095 = 27*r1 + r2 (97)
Citation :
en calculant séparément les restes de 2690549 1880263 et de 588157 113095
(en corrigeant mon erreur de nombre de départ)
en calculant séparément les restes de 2690549 1880263 et de 588157 113095
c'est tout l'intérêt de la méthode.
les restes r1 et r2 peuvent s'obtenir d'ailleurs sans calculette en généralisant ce qu'on a fait question 1
par exemple 113095 = 11×100^2 + 30×100 + 95 = 11×3^2 + 30×3 + 95 = 99 + 90 + 95 = 2 - 7 - 2 = -7 = 90 (97)
etc
Merci ,
mais quand vous dites simplifier par modulo sa signifie chercher les restes de r1 et r2 par la division euclidienne par 97 pour ensuite remplacer r1 et r2 par leur restes? Ce qui donnerait des nombres plus courts?
Je ne suis pas sure d'avoir bien compris.