Bonsoir à tous, voilà, j'ai un dm pendant les vacances de cours et c'est sur les matrice, et j'suis pas trop calée en matrice, si quelqu'un pourrait m'aider, ca serait sympas, merci d'avance.

Exercice 1

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EXERCICE 2

Le modèle précédent n?est pas réaliste : il ne suppose aucune mortalité des lapins.

L?espérance de vie moyenne d?un lapin est d?environ 2 ans, on considère alors un cycle de vie de deux ans. En général, on ne considère que les femelles. Le modèle le plus simple est de considérer deux classe d?âge :

Les jeunes lapines dont l?âge varie de 0 à 1 an.
Les lapines adultes dont l?âge varie de 1 an à 2 ans.

La maturité sexuelle des femelles est atteinte à peu près à 6 mois, on suppose que, pour les jeunes femelles de plus de 6 mois (et de moins de 1 an), la fécondité est en moyenne de deux femelles par an. Pour une femelle adulte, cette fécondité passe à six femelles par an en moyenne.

Par ailleurs, on observe que 50% des jeunes lapines n?atteignent pas l?âge adulte.

On appelle an le nombre de femelles adultes et jn le nombre de jeunes femelles au temps n (en années) On obtient alors le système suivant :
{J_n+1 = 2J_n + 6a_n
{A_n+1 = 0.5J_n

On prend a_n = 1 et j_n = 2
Sur le long terme, il semble que la population de chaque classe d?âge, et donc la population totale, triple à peu près, chaque année.
On pose ainsi X_n : (J_n )
                                         (A_n )

1. A partir de l?expression récurrente des suites an et jn déterminer une matrice L telle que :
X_n+1 = LX_n

2. Expliquer pourquoi on se ramène à l?étude de X_n+1 = Lⁿ X₀

3.Vérifier que L = PDP^-1 avec :

D : (3 0)               P : (6 2)
       (0 -1)                    (1 -1)

4. Calculer alors Lⁿ en calculant Dⁿ.

5. En déduire alors que jn = 3n * ( a - ?(1/3)n).
Avec a et ? qui ne dépendent que de j₀ et a₀. (ici, a = 3 et ? = 1)

6. Expliquer pourquoi à long terme, la population de lapin triple environ chaque année.

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