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Dossier de géométrie : lieu géométrique de l'orthocentre.
Bonsoir,
Je viens quémander votre aide au sujet de la dernière question d'un dossier à laquelle ne ne trouve de réponses satisfaisantes.
Je vous présente l'exercice:
Soit C un cercle de centre O et sur lequel on place les points A et B distincts.
Soit M un troisième point de C.
1°) Quel est le lieu du centre de gravité G du triangle ABM lorsque M décrit C privé de A et B?
2°) a) Montrer que les symétriques de H par rapport à chacun des côtés du triangle ABM appartient à C
b) En déduire le lieu de H lorsque M parcourt C privé de A et B.
Comme je vous l'ai dit au dessus, les questions 1) et 2)a) sont résolues.
Reste que je n'arrive pas à déduire du résultat le lieu demandé.
Il y a plusieurs méthodes mais aucune de celles que j'ai vu ne me satisfait:
- on a la relation : MH=2OI. Sauf que ça ne semble pas être dans l'esprit du sujet.
- on peut s'enquiquiner à utilisé le symétrique de H par rapport au milieu du segment [AB] et à trouver que l'image de M par une composée de deux homothéties déterminables. Sauf que c'est pas intuitif et encore moins une déduction de la question d'avant.
- on peut trouver d'autres décompositions mais je ferais la même remarque...
Enfin, une toute dernière trouvaille! On construit la médiatrice de H'm et M et H se déduit de M par composée de deux symétries. Celle-ci me semble la meilleure de toute et bien dans le sujet.
Reste que construire cette médiatrice n'est pas évident et je me demande s'il le résultat ne peut pas se déduire plus simplement de la question d'avant.
Pourriez-vous m'aider? Merci!
Bonsoir
quand M décrit un des deux arcs AB, le symétrique de H par rapport à [AB] va décrire l'autre arc AB du cercle
par conséquent H va décrire le symétrique de de cet arc par rapport à [AB]
et quand M décrira l'autre arc, on aura la même propriété.
Le lieu de H sera donc le cercle symétrique du cercle C par rapport à (AB)
'la seule chose qui me dérange dans ce que je viens d'écrire est la suivante.
tu sais que O,G,H sont alignés et qu OG=1/3OH
le lieu de H est donc l'homothétique de celui de G dans une homothétie de centre O et de rapport 3
on retrouve bien un cercle dop=nt le rayon est égal à celui de C
Mais est-ce bien le symétrique de C par rapport à (AB) ???
bonjour
gaa d'accord avec toi et si w est le centre du cercle lieu de G tu as si I milieu de [AB]:
dans l'ordre I--W----O ensuite comme vec (OH) =3vec (OG) on repart de O et on multiplie par 3:
S------I--W----O
j'ai essaye de respecter les distances avec mes petits - donc Si s est le centre du lieu de H S est bien sym de O par rapport à (AB)
Merci de vos aides!
J'aurais besoin tout de même de quelques précisions :
A1:="Quand M décrit un des deux arcs AB, le symétrique de H par rapport à [AB] va décrire l'autre arc AB du cercle."
Pourquoi?
Pourquoi n'en ferait-il pas qu'un bout?
Peut-on dire que le symétrique de H par rapport à (AB), H'M, est le projeté de M sur C orthogonalement à [AB]? Cela nous assure-t-il, par bijection, l'assertion A1?
Et enfin, comment le justifier devant une classe de coillège-lycée!?
C'est cette assertion là qui m'a posé problème de prime abord!
Et A2:="O,G,H sont alignés et qu'OG=1/3OH". Moi oui (et encore) mais c'est parce qu'il m'a été donné d'étudier la droite d'Euler. Ce n'est pas au programme de première!
Malheureusement, l'épreuve de dossier ne me laisse pas beaucoup de marge quant aux acquis supposés. Programmes officiels, c'est tout...
j'ai l'impression que tu te poses de faux problèmes.
Quand M balaie tout l'arc AB (le grand ou le petit) le symétrique de H par rapport à (AB) est toujhours sur le cercle C
donc H sera bien toujours sur le symétrique du cercle C par rapport à (AB)
quand à la propriété de la droite d'Euler, je l'ai introduite dans le seul souci de contrôle.
Mais par rapport à des élèves, on n'en a pas du tout besoin
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