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Niveau 2 *
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"Double-4" et "Double-5"

Posté par
littleguy
12-02-16 à 17:33

Bonjour,

On appelle « double-4 » un nombre de huit chiffres tel que :
- Chaque chiffre entre 1 et 4 est utilisé deux fois.
- Entre les deux chiffres 1 s'intercale un chiffre, entre les deux chiffres 2 s'intercalent deux chiffres,  entre les deux chiffres 3 s'intercalent trois chiffres, entre les deux  chiffres 4 s'intercalent quatre chiffres.

De même on appelle « double-5 » un nombre de dix chiffres tel que :
- Chaque chiffre entre 1 et 5 est utilisé deux fois
- Mêmes propriétés que pour le double-4 avec bien sûr en plus : entre deux chiffres 5 s'intercalent cinq chiffres.

On cherche tous les « double-4 » et tous les « double-5 ».

Que trouvez-vous ?

Posté par
rschoon
re : "Double-4" et "Double-5" 12-02-16 à 18:06

gagnéBonjour à tous.

Je trouve 2 "double 4": 23421314 et 41312432.
Je ne trouve aucun "double 5".

Merci pour l'énigme

Posté par
Nofutur2
re : "Double-4" et "Double-5" 12-02-16 à 18:40

gagnéPour les double-4, j'en trouve 2, évidemment symétriques l'un de l'autre :
23421314
41312432
Je ne trouve pas de double-5 par contre...

Posté par
torio
re : "Double-4" et "Double-5" 12-02-16 à 19:46

gagnédeux "double-4" :
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]

aucun "double-5"

Posté par
masab
re : "Double-4" et "Double-5" 12-02-16 à 21:18

gagnéBonjour littleguy,

Il y a 2 double-4 :
41312432
23421314

Il n'y a pas de double-5 !

Merci pour cette énigme simple.

Posté par
trapangle
re : "Double-4" et "Double-5" 12-02-16 à 23:07

gagnéBonsoir,

Les double-4 : 41312432 et 23421314
Il n'y a pas de double-5.

Merci

Posté par
TheMathHatter
re : "Double-4" et "Double-5" 13-02-16 à 05:15

gagnéHello,

Je suis decu, je n'ai trouve qu'un seul double-4 (avec son symetrique) et aucun double-5.

Ma reponse est donc 41312432 et 23421314.

Je suis alle un peu vite et en ai surement oublie. En revanche j'ai trouve un double-3 avec son symetrique 312132 et 231213. Il n'y a pas de double-2.

Je suis curieux de savoir comment est venue l'idee de l'enigme. As-tu remarque le truc en tombant par hasard sur un des nombres en te demandant s'il y en avait d'autres ?

Merci pour l'enigme.

Posté par
pondy
re : "Double-4" et "Double-5" 13-02-16 à 09:13

gagnéBonjour
Je trouve deux double-4:
41312432
23421314
Il n'y a pas de double-5
Cordialement

Posté par
royannais
re : "Double-4" et "Double-5" 13-02-16 à 09:30

gagné41312432 et son symétrique 23421314 pour le double-4

le double-5 n'existe pas

Posté par
benmagnol
re : "Double-4" et "Double-5" 13-02-16 à 10:30

perduBonjour
Merci pour cette enigme

Je trouve
32 cas favorables pour double-4

qui sont

[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[2, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]
[4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2]

et aucun cas favorable pour double-5

Merci pour cette enigme

Posté par
sanantonio312
re : "Double-4" et "Double-5" 13-02-16 à 10:44

gagnéBonjour,
Pour les "double-4": 41312432 et 23421314
Pas de "double-5".

Posté par
geo3
re : "Double-4" et "Double-5" 13-02-16 à 11:05

gagnéBonjour
il y a 2 double-4 qui sont  23421314 et 41312432
il n'y a pas de double-5
A+

Posté par
vham
re : "Double-4" et "Double-5" 13-02-16 à 12:44

gagnéBonjour,

2  double-4 (symétriques l'un de l'autre) :
23421314
41312432
aucun double-5

Posté par
pi-phi2
re : "Double-4" et "Double-5" 13-02-16 à 16:25

gagnébonjour.

les  "double4"  sont  23421314    et son réversible   41312432

les   " double5" n'existent pas .
Pour qu'un "doubleN" existe , N doit être congru à 0 ou 3  (mod 4)
ces doubleN existent avec  N = 7 , 8 , 11 , 12 ..etc

Posté par
derny
re : "Double-4" et "Double-5" 14-02-16 à 09:22

gagnéBonjour
deux "double-4" : 41312432 et son symétrique 23421314
Pas de "double-5"

Posté par
sbarre
re : "Double-4" et "Double-5" 14-02-16 à 11:54

gagnéBonjour,

en bidouillant un peu je ne trouve qu'une seule solution en double 4 (+ son symétrique bien sûr!) et aucune en double 5.

Solution(s): 41312432 (et donc 23421314!).
(sauf erreur...)
Merci.

Posté par
castoriginal
re : "Double-4" et "Double-5" 14-02-16 à 15:18

gagnéBonjour,

pour double-4 , il y a deux solutions symétriques

41312432

23421314

et pour double-5  le problème est impossible

amitiés

Posté par
dpi
re : "Double-4" et "Double-5" 14-02-16 à 17:56

gagnéBonjour,

Nous apprécions ce rythme pour les énigmes .
Merci  de continuer.

Pour 4/8
Deux réponses (en   vert )
Pour 5/10
Il y a incompatibilité entre les espaces.
0 solution

 Double-4  et  Double-5

Posté par
carita
re : "Double-4" et "Double-5" 14-02-16 à 19:46

gagné« double-4 »
2 3 4 2 1 3 1 4       et       4 1 3 1 2 4 3 2    
(son "symétrique")

« double-5 »  : aucun

Posté par
evariste
re : "Double-4" et "Double-5" 15-02-16 à 08:47

gagné « double-4 »  : 41312432  et 23421314

« double-5 » : aucun

Posté par
LittleFox
re : "Double-4" et "Double-5" 15-02-16 à 10:20

gagné
Je trouve 2 double-4 mais pas de double-5 :
23421314 et son symétrique 41312432.

Note :  il existe 2 double-3, 231213 et son symétrique 312132.

Ces nombres sont les premières séquences de Langford :

Il n'existe pas de double-6 non plus mais 26 double-7.

Posté par
LittleFox
re : "Double-4" et "Double-5" 15-02-16 à 17:58

gagnéChallenge :

Un triple-n  est un nombre de 3n chiffres (trois 1, trois 2, trois 3, ... trois n) tel que il y a un chiffre entre le premier 1 et le second et un entre le second 1 et le troisième, deux chiffres entre le premier 2 et le second et deux entre le second 2 et le troisième, ... et n chiffres entre le premier n et le second et n entre le second n et le troisième.

181915267285296475384639743 est le plus petit triple-n, quels sont les deux suivants?

Posté par
albatros44
re : "Double-4" et "Double-5" 15-02-16 à 19:34

gagnéBonjour

Réponse pour double-4
23421314
41312432
Réponse pour double-5
Aucune

Bonne journée

Posté par
sarriette84
re : "Double-4" et "Double-5" 16-02-16 à 15:41

gagnéBon, ces derniers temps j'ai tout faux, mais je tente quand même:
je trouve 2 double-4 :
41312432
23421314

et 0 double-5

Bonne journée
Sarah

Posté par
Alexique
re : "Double-4" et "Double-5" 17-02-16 à 16:03

gagnéBonjour,

je ne trouve aucun double 5 et deux double 4 : 23421314 et 41312432

Merci pour l'énigme !

Posté par
Serbd
re : "Double-4" et "Double-5" 19-02-16 à 02:04

gagné* challenge en cours *

Posté par
Serbd
re : "Double-4" et "Double-5" 19-02-16 à 02:43

gagnéPour le double-4: 2 possibilités (2,3,4,2,1,3,1,4) et (4,1,3,1,2,4,3,2)

Pour le double -5:  0 possibilité en effet ce n'est pas possible.

Posté par
rutabaga
re : "Double-4" et "Double-5" 19-02-16 à 20:10

gagnéBonjour et merci pour l'énigme !
Il existe deux doubles-4 (chacun l'inverse de l'autre) : 41312432 et 23421314.
En revanche il n'existe pas de double-5.

Posté par
franz
re : "Double-4" et "Double-5" 23-02-16 à 08:55

gagnéJe n'ai trouvé que 2 “double-4”: 41312432 et son symétrique 23421314 et aucun “double-5”

Posté par
Skaro
re : "Double-4" et "Double-5" 23-02-16 à 16:30

gagnéBonjour

J'ai trouve deux 4-double

23421314 et son 'symetrique' 41312432'
Et pas de double-5

Merci aux poseurs d'enigmes

Posté par
Exter
re : "Double-4" et "Double-5" 25-02-16 à 17:09

gagnéBonjour,

Pour le double 4 :

4 1 3 1 2 4 3 2           et son symétrique               2 3 4 2 1 3 1 4

Pour le double 5 :

Rien...

Posté par
LEGMATH
re : "Double-4" et "Double-5" 26-02-16 à 14:16

gagnéBonjour  littleguy ,


Je trouve 2 double-4  : 23421314
                                                   41312432

Je ne trouve pas double-5.

Merci.

Posté par
manitoba
re : "Double-4" et "Double-5" 29-02-16 à 10:34

gagnéBonjour LittleGuy,

Les « double-4 »  sont         41312432  et       23421314
Il n'y a pas de « double-5 ».

Merci pour l'énigme.

Posté par
jugo
re : "Double-4" et "Double-5" 29-02-16 à 16:43

gagnéBonjour,

J'ai trouvé 2 doubles-4:
23421314 et son symétrique : 41312432,

mais aucun double-5.

Posté par
littleguy
re : "Double-4" et "Double-5" 05-03-16 à 11:46

Clôture de l'énigme.

Comme l'a indiqué LittleFox, en rapport avec les nombres de Langford.

Voir par exemple ici :  

Bravo à tous.

Posté par
sbarre
re : "Double-4" et "Double-5" 05-03-16 à 21:16

gagnéBonsoir,
un quasi 100%: une réponse étonnante de benmagnol qui a posté 16 fois (je pense car je n'ai pas compté) chacune des 2 réponses. Une petite erreur de programmation sans doute et malheureusement non détectée par l'intéressé!

C'est vraiment passé pas loin...

En tout cas, encore merci a Littleguy.

Posté par
benmagnol
re : "Double-4" et "Double-5" 06-03-16 à 08:43

perduMais oui quelle honte moi qui dit toujours a mes petits de vérifier la vraisemblance des résultats . Me voilà bien contrit d'être le seul sur cette île à poster des réponses fausses! J'espère me rattraper aujourd'hui !

Posté par
sanantonio312
re : "Double-4" et "Double-5" 06-03-16 à 10:01

gagnéBonjour benmagnol, ton adresse de messagerie laisse penser que tu es en Gironde.
J'y suis aussi.
Ça nous fait deux points communs. (J'ai fait -3 le mois dernier )

Posté par
trapangle
re : "Double-4" et "Double-5" 06-03-16 à 15:08

gagnéPour le challenge complémentaire de LittleFox, je suppose qu'il faut comprendre qu'on cherche les plus petits triple-9 et je propose :

191218246279458634753968357 et
191618257269258476354938743

...mais je ne l'ai pas fait à la main

Posté par
LittleFox
re : "Double-4" et "Double-5" 07-03-16 à 11:23

gagné
@Trapangle : Correct

Les nombres :

181915267285296475384639743
191218246279458634753968357
191618257269258476354938743

sont les seuls triples de Langford (avec leur inverse) qui sont aussi des nombres.
Il y a aussi 5 triples de Langford avec n=10 mais ce ne sont plus des nombres (en base 10) :

131A1349638457A6495827625A2987
1A1617935863A7539684572A429824
1A1214297248A5647935863A753968
4A1714189347A3568397526A285296
52792A5264785946A3748369131A18

Ensuite il faut aller jusqu'à n=17 avant de trouver un autre triple (il y en a 13440 avec n=17 ) :
n=17 : HF3G9A31C131DE96AFH5GC6B95DAE6758FCBHG74D82E427B248
n=18 : IG5HB429524E2F54B9GICHD678E9BF6A7C8GD6IH7EA83FC131D13A
n=19 : JHDI4B82G429F248DBEHJ9IC8G57FBD95EA7CH56JIG7FA63EC131613A

Il parait qu'il existe des quadruples , mais je n'ai trouvé aucun exemple (ni même d'indices sur n) ni réussi à générer aucun.

Posté par
trapangle
re : "Double-4" et "Double-5" 25-02-17 à 08:16

gagnéBonjour,

À propos des quadruples de Langford dont LittleFox parle ci-dessus, je suis tombé sur :

Citation :
Extensive search of higher orders has discovered three solutions with quadruplets for n=24. Saito & Hayaska say no known quintuplets for n≤24, and no sextuplets for n≤21.


J'ai fait un programme en force brute pour trouver les quadruples-24, mais même après l'avoir optimisé, parallélisé et fait tourner sur la machine la plus puissante que j'aie à ma disposition (un i5 3470), le temps de calcul reste rédhibitoire.

Mon programme a l'air d'être d'ordre O((n-13)!) pour n dans [15,20]. Pour n=20, il s'exécute en 38 minutes. Donc j'estime que pour n=24, ça devrait me prendre 6 mois... Je l'ai quand même lancé, je pourrais avoir la chance de tomber rapidement sur une solution, mais il ne pourra tourner qu'une dizaine de jours, si tout tient le coup jusque là.

Posté par
trapangle
re : "Double-4" et "Double-5" 06-03-17 à 10:25

gagnéBonjour,

J'ai dû arrêter le programme ce matin, mais il a trouvé deux solutions cette nuit, les dernières heures avant que je l'arrête :

4 22 9 24 14 4 6 18 20 7 4 23 9 6 15 4 21 7 12 14 6 19 9 13 22 7 18 6 24 20 15 12 9 7 14 23 5 13 21 16 17 19 5 11 12 18 15 22 5 14 20 13 10 24 5 11 16 12 17 23 21 19 15 10 18 13 2 11 8 2 22 20 2 16 10 2 17 8 24 11 3 19 21 23 3 10 8 1 3 1 16 1 3 1 17 8
et
21 2 22 11 2 15 23 2 3 4 2 24 3 9 4 11 3 20 7 4 3 15 21 9 4 22 7 11 17 5 23 18 19 9 7 5 24 15 20 11 16 5 7 9 21 14 17 5 22 8 18 13 19 15 23 12 6 16 8 20 14 24 10 6 17 13 21 8 12 18 6 22 19 10 16 14 8 6 23 13 20 12 17 1 10 1 24 1 18 1 14 16 19 13 12 10

ou en base 24 :

4M9OE46IK74N96F4L7CE6J9DM7I6OKFC97EN5DLGHJ5BCIFM5EKDAO5BGCHNLJFAID2B82MK2GA2H8OB3JLN3A8131G131H8
et
L2MB2FN2342O394B3K743FL94M7BH5NIJ975OFKBG579LEH5M8IDJFNC6G8KEOA6HDL8CI6MJAGE86NDKCH1A1O1I1EGJDCA

Reste la troisième à trouver, si ça intéresse quelqu'un

Posté par
LittleFox
re : "Double-4" et "Double-5" 06-03-17 à 10:55

gagné
Sachant qu'il a fallu 18.5 mois à Saito&Hayaska pour les trouver et 2 ans à Richard Noble pour les vérifier c'est impressionnant même si ces calculs ont été faits en ~1979 et 2004 et que les ordinateurs sont beaucoup plus puissants maintenant. Bravo Trapangle . Je me lancerai peut-être là dedans un jour, quand j'aurai le temps .

Citation :
PROBLEMDATEPERSONCOMPUTERTIMELANGWhere
L(4,24)~1979Saito & Hayaskacustom18.5m?Miyagi Tech
L(4,24)2004Richard NobleIntel2 yQuickBASICRetired

Posté par
trapangle
re : "Double-4" et "Double-5" 06-03-17 à 11:20

gagnéHa merci, mais en effet c'est la puissance des ordinateurs qui fait tout.

Du coup, je viens de me rendre compte que les solutions que je cherchais depuis 2 semaines sont sur le site que j'ai mentionné précédemment... ça le fait moins . Mais je vous promets que je ne les avais pas vues auparavant.

Posté par
LittleFox
re : "Double-4" et "Double-5" 06-03-17 à 14:31

gagné
Haha, je ne les avais pas vues non plus et même après que tu l'aies dit il m'a fallu un petit temps avant de tomber dessus .

Posté par
LittleFox
re : "Double-4" et "Double-5" 07-03-17 à 12:11

gagné
Bon, ben reste plus qu'à chercher des solutions pour L(4,27) . En effet n doit être un multiple de 4 ou un multiple de 4 moins un pour qu'il y ait des solutions :

Soit L(4,n) une liste de 4n éléments qui soit solution. Soit X_k le plus petit indice de l'élément k dans L(4,n). Les indices des éléments k sont X_k, X_k+k+1, X_k+2k+2 et X_k+3k+3. La somme de tous les indices est donc \sum_{k=1}^n{(4X_k+6k+6)}= 4\sum_{k=1}^n{X_k}+3n(n+3). Or la somme de tous les indices de 1 à 4n est \sum_{i=1}^{4n}{i}=2n(4n+1). On a donc \sum_{k=1}^n{X_k} = \frac{ 2n(4n+1) - 3n(n+3)}{4} = \frac{n(5n-7)}{4}. Or tous les X_k étant entiers, leur somme doit être entière et donc \boxed{n \equiv 0 \ ou \ 3 \pmod 4} .

Et une petite astuce qui pourrait accélérer un peu la recherche, la moitié des éléments impairs doivent être à des indices pairs, l'autre à des indices impairs :

Soit P_{p,p} les X_k tel que k et X_k sont pairs, P_{p,i} les X_k tel que k est pair et X_k impairs, P_{i,p} les X_k tel que k est impair et X_k pair et P_{i,i} les X_k tel que k et X_k sont impairs.
Si n \equiv 3 \pmod 4, on a :
\begin{cases}|P_{p,p}| + |P_{p,i}| &= \frac{n-1}{2} \ \textrm{(La moitié inférieure des k est pair : 2,4,...,n-1)} \\
 \\ |P_{i,p}| + |P_{i,i}| &=\frac{n+1}{2} \ \textrm{(La moitié supérieure des k est impair : 1,3,...,n)} \\
 \\ 2|P_{p,p}|+2|P_{p,i}|+4|P_{i,p}| &= 2n \ \textrm{(Si k est pair alors k est à deux indices pairs et deux indices impairs, ... }\\
 \\ 2|P_{p,p}|+2|P_{p,i}|+4|P_{i,i}| &= 2n \ \textrm{... si k est impair alors les indices des k ont tous la même parité)}
 \\ \end{cases}

\Rightarrow \begin{cases}|P_{i,p}| &= \frac{2n-(n-1)}{4} = \frac{n+1}{4}\\
 \\ |P_{i,i}| &= \frac{2n-(n-1)}{4} = \frac{n+1}{4}
 \\ \end{cases}


Si n \equiv 0 \pmod 4, on a :
\begin{cases}|P_{p,p}| + |P_{p,i}| &= \frac{n}{2} \\
 \\ |P_{i,p}| + |P_{i,i}| &=\frac{n}{2} \\
 \\ 2|P_{p,p}|+2|P_{p,i}|+4|P_{i,p}| &= 2n \\
 \\ 2|P_{p,p}|+2|P_{p,i}|+4|P_{i,i}| &= 2n
 \\ \end{cases}

\Rightarrow \begin{cases}|P_{i,p}| &= \frac{2n-n}{4} = \frac{n}{4}\\
 \\ |P_{i,i}| &= \frac{2n-n}{4} = \frac{n}{4}
 \\ \end{cases}

Posté par
LittleFox
re : "Double-4" et "Double-5" 09-03-17 à 17:03

gagné
Voilà voilà basé sur les découvertes plus haut, j'ai écrit un petit algorithme. D'abord en python parce que je suis plus à l'aise dans ce language puis je l'ai réécrit en c++ pour l'efficacité. Les codes sources ainsi que l'exécutable sont disponibles ici :

Ce programme permet le découpage de l'espace de recherche en bornant les valeurs que peut prendre le premier élément de L. Permettant aussi le parallélisme.

Les temps d'exécution sur un I5-3320M @2.60GHz :

ntemps
150.023s
160.083s
195.891s
2025.542s
231412.670+1086.770+1140.980+609.855=4250.275s (70.8 minutes)

On voit quand même que le temps monte très vite (il doit être inférieur à O(n!) mais pas de beaucoup).
Je lancerai le n=24 ce soir sur un pc plus puissant puis n=27

Posté par
LittleFox
re : "Double-4" et "Double-5" 10-03-17 à 14:30

gagné
Bon voilà, pour n=24 je trouve les solutions en 27369.63s ~ 7.6heures (parallélisé en 2*3 threads).

Je trouve les solutions et leurs symétriques mais bizarrement je n'en trouve que 5, il me manque la solution (21,2,22,11,2,15,23,2,3,4,...) mais j'ai son symétrique. Je n'ai pas encore trouvé pourquoi.

Le temps de calcul semble suivre une courbe en O((\frac{2(n-3)}{3})!). J'estime que le temps de calcul total pour n=27 sera d'environ 2.5 mois (sans parallélisme).
J'espère trouver une solution plus tôt ^^.

Posté par
trapangle
re : "Double-4" et "Double-5" 10-03-17 à 23:56

gagnéBien joué, ton programme est bien plus efficace que le mien

J'espère qu'il y a des solutions pour n=27 et que tu vas pouvoir les trouver !

Posté par
LittleFox
re : "Double-4" et "Double-5" 21-03-17 à 08:49

gagné
Rien trouvé ni pour n=27, ni pour n=28.
Je n'ai pas pu faire tourner une machine non-stop donc j'ai essayé des parties aléatoires du domaine de recherche (LangFordRandOrder.exe). Sans résultats.

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