Niveau exercices

DS: Fonction de Weierstrass

Posté par
1 Schumi 1 25-01-08 à 15:46

Bonjour à tous,

Je vous donne le premier exo auquel j'ai eu droit ce matin en DS. (Mon dieu que je me suis mangé dessus... ). C'est un exemple classique de ce type de monstre et la démo avec! J'ai trouvé ça plutôt intéressant donc je vous le file.

Voici la bebête:

Citation :

L'objectif du problème est de construire une contion continue sur $\rm\mathbb{R}$ , mais dérivable en aucun point.

Notations et définitions
Une fonction f est affine sur un intervalle I lorsqu'il existe deux réels A et B tels que $\rm\forall x\in I, f(x)=Ax+B$ . Le réel A est appelé la pente de f sur I.

1) On définit sur $\rm\mathbb{R}$ la fonction $\rm g: x\to|x-E(x+\frac{1}{2})|$ . Cette première question est dévolue à l'étude de g.

a) Montrer que g est 1-périodique, continue sur $\mathbb{R}$ , et que $\rm g(1-x)=g(x)$ pour tout $\rm x\in\mathbb{R}$ . Tracer le graphe de g.
b) Vérifier que g est 1-lipschistzienne sur R.
c) Soit $\rm n\in\mathbb{N}$ . On définit sur $\rm\mathbb{R}$ la fonction $\rm g_n: x\to\frac{g(2^nx)}{2^n}$ . Quelle transformation simple permet de passer du graphe de g à celui de $\rm g_n$ ? Tracer les graphes de $\rm g_1$ et $\rm g_2$ sur le graphique de la question a).
d) Montrer que $\rm g_n$ est 1-lipschitzienne. Montrer que pour tout $\rm k\in\mathbb{Z}$ , $\rm g_n$ est affine sur $\rm [\frac{k}{2^{n+1}},\frac{k+1}{2{n+1}}]$ . Quelles valeurs peut prendre la pente?

2) On pose $\rm f_n(x)=\Bigsum_{k=0}^{n}g_k(x)$ .

a) Soit $\rm x\in\mathbb{R}$ . Montrer que $\rm(f_n(x))_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente. On note f(x) sa limite.
b) Montrer que la fonction f est 1-périodique et que f(x)=f(1-x).
c) Montrer que $\rm|f(x)-f_n(x)|\le\frac{1}{2^n}$ . En déduire que si $\rm|x-y|\le\frac{1}{2^n}$ , alors $\rm|f(x)-f(y)|\le\frac{n+3}{2^n}$ .
d) Prouver que f est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ .

3) Dans cette question, on fixe un réel x, et on souhaite montrer que f n'est pas dérivable en x.
On définit: $\rm a_n=\frac{E(2^{n+1}x)}{2^{n+1}}$ et $\rm b_n=\frac{E(2^{n+1}x)+1}{2^{n+1}}$ .
a) Montrer que les suites $\rm(a_n)$ et $\rm(b_n)$ sont adjacentes. Quelle est leur limite commune?
b) Vérifier que $\rm f(a_n)=f_n(a_n)$ et que $\rm f(b_n)=f_n(b_n)$ .
c) Justifier que $\rm\frac{f_n(b_{n+1})-f_n(a_{n+1})}{b_{n+1}-a_{n+1}}=\frac{f_n(b_n)-f_n(a_n)}{b_n-a_n}$ .
d) On pose $\rm\Delta_n=\frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}$ . Vérifier que $\rm|\Delta_{n+1}-\Delta_n|=1$ .
e) On suppose que $\rm(u_n)$ et $\rm(v_n)$ sont deux suites convergeant vers une limite l et que $\rm(\lambda_n)$ est une suite quelconque à valeurs dans [0,1]. Montrer que $\rm(\lambda_n u_n + (1-\lambda_n)v_n)$ converge vers l.
f) On suppose f dérivable en x. Montrer que $\rm(\Delta_n)$ converge vers $\rm f'(x)$ . Conclure.

4) On établit un propriété supplémentaire pour f.

a) On fixe $\rm x=\frac{k}{2^n}$ , puis $\rm x_p=x+\frac{1}{2^p}$ . Montrer qu'il existe un rang P tel que $\rm p\ge P\Longrightarrow f(x_p)>f(x)$ .
b) En déduire que f n'est monotone sur aucun intervalle.

Amusez-vous bien!

Bonne réflexion.

Ayoub.

Posté par re : DS: Fonction de Weierstrass 25-01-08 à 16:02

Et alors? Comment tu t'es débrouillé?

Posté par re : DS: Fonction de Weierstrass 25-01-08 à 18:50

Catastrophe général (et encore, t'as pas vu la suite... ).
C'était très intéressant, mais c'est clairement pas de mon niveau ça. Ou du moins, pas dans un délai si bref. J'ai pas fait la 1b), la 3c) et la 4. (La 4 c'est par manque de temps, je suis passé à la suite; dommage parce que j'aurais bien aimé la faire ^^).
Par contre pour la rédac, j'ai déjà fait mieux... (ya des questions c'est même baclé); j'espère qu'il ne m'en tiendra pas trop rigueur parce que sinon, adieu les bonnes notes en math...

Tu te lances? Tu dois la connaître de toute façon celle-là, non?

Posté par re : DS: Fonction de Weierstrass 26-01-08 à 14:19

Oui, bien sûr que je la connais... Ce n'est pas de jeu si je me lance!

Posté par re : DS: Fonction de Weierstrass 27-01-08 à 16:48

Personne? Dommage...

Posté par re : DS: Fonction de Weierstrass 27-01-08 à 17:04

Salut

Tiens, c'est un exo de notre prof (mot pour mot ) que j'ai eu en DM, il n'est pas vraiment difficile, il faut juste bien manier les définitions.

Je te donnerai la correction si tu le souhaites.

Posté par re : DS: Fonction de Weierstrass 27-01-08 à 17:11

Salut Jord,

Non, c'est bon, j'ai eu le temps de le finir depuis. Mais merci quand même. C'est normal qu'il te l'ai donné: mon prof m'a dit que c'est un exo donné à LLG (mais il m'avait dit en DS... ).

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