bonsoir,
la fonction x -> e^x est croissante et toujours positive
en -infini, sa limite est 0,
en x=0, e^x=1
et en +infini, la limite est +infini
à noter que c'est une courbe qui croîttrès vite
(la dérivée de e^x est e^x, donc plus on prend des points avec une ordonnée importante, plus son coef directeur est grand)


la fonction x -> ln(x) est définie uniquement pour x > 0
entre - infini et 1 , ln(x) est négative et ln (1)=0
pour x>1, ln(x) est positive et croissante
mais elle croit beaucoup moins vite que la fonction exponentielle
et sa dérivée est 1/x

Bonsoir






Pour les démonstrations, cela dépend comment tu définies ces fonctions.

Par exemple pour ln si on admet la propriété ln(ab)=ln(a)+ln(b) alors la démonstration devient triviale :

Puisque ln est croissante sur R*+, ln admet en +oo soit une limite finie, soit une limite égale à +oo.
Si elle était fini, il existerait L réel tel que soit aussi
Or ln(2x)=ln(2)+ln(x)
donc
ce qui entraine que ln(2)=0 ce qui est absurde puisque ln(2)>ln(1)=0

Je te laisse conclure

petite erreur pour le ln, désolé,
entre "0" (exclus) et 1 , ln(x) est négative et ln (1)=0 (j'avais dit entre -infini et 1)

Trop tard

puisea,

l'écriture correct de la fonction ln avec latex et "\ln"

Merci H_aldnoer, je n'avais jamais remarqué qu'il y avait une commande pour l'écrire en latex.

pas de quoi

(rq : idem pour de nombreuses fonctions comme cosinus, sinus, ...)