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en espérant que l'on intègre bien sur on a par Cauchy-Schwartz que et les hypothèses assurent que l'on est dans le cas d'égalité.
Il existe donc tel que donc pour tout on a . Si n'est pas identiquement nulle et alors il existe tel que donc . Mais étant continue, la propriété de la valeur intermédiaire serait contredite.
Donc identiquement nulle est la seule fonction qui convient.

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Presque juste , tu as donnée la première que je connais, vérifie ton raisonnement à partir de " Si n'est pas identiquement nulle ... "

Comme dit, c'est pas bien compliqué mais j'aime bien les exercices à plusieurs solutions

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Oui, dans la précipitation j'ai oublié le cas où ne s'annule jamais (la propriété de la valeur intermédiaire ne serait pas contredite). Dans ce cas f est constante égale à et ceci impose donc les solutions sont f identiquement nulle ou constante égale à 1.
Enfin, ceci ne donne pas de sens aux intégrales initiales, dont je ne sais toujours pas sur quoi elles portent.

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Voila ! ^^ Je pense qu'elles portent sur ce que tu veux ou presque ( pas à intervalle réduit à un point ), j'ai eus l'exercice tel quel.

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On peut par exemple supposer que l'égalité a lieu sur tout intervalle fermé borné.
Un truc qui nous éloigne des trois lignes de la preuve optimale consiste à montrer que le issu du cas d'égalité de Cauchy-Schwartz est le même sur tout intervalle fermé borné.

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, ça paraît aussi long que la preuve proposée par presquepartout si on la fait en détail, en tout cas, en cours, on a passé plus de temps à tout bien justifier la première méthode que la seconde.

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Sinon, on a donc ce qui impose (intégrale d'une fonction continue positive) que pour tout on a soit soit . On ne peut avoir une solution f qui prend à la fois les valeurs 0 et 1 (valeur intermédiaire) donc f est soit constante égale à 0 ou à 1.

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Je sais pas si tu as vu la correction, en tout cas c'est bien l'idée que j'y ai donnée.