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Niveau Master Maths
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Égaux à modification près

Posté par
cfg977
08-09-23 à 09:05

Bonjour,

Soient X et Y deux processus stochastiques égaux à modification près, c'est-à-dire \forall t \geq 0, \mathbb{P}(X_t = Y_t) = 1.
Démontrer que si X et Y sont continus à droite alors \mathbb{P}(\forall t \geq 0, X_t = Y_t) = 1.

Ce que j'ai réussi à faire :

On note A_t = \{X_t = Y_t\}. Les A_t sont des évènements certains. Donc par réunion dénombrable on peut dire que \mathbb{P}(\forall t \in \mathbb{Q}, X_t = Y_t) = 1

Ma difficulté :

Comment passé de \mathbb{Q} à \mathbb{R} dans cette dernière égalité ?

Posté par
Ulmiere
re : Égaux à modification près 08-09-23 à 11:18

En utilisant la continuité à droite des processus et la densité de Q dans R

Posté par
Barjovrille
re : Égaux à modification près 08-09-23 à 12:11

Bonjour, c'est plutôt une intersection qu'une union. En reprenant tes notations.
Tu peux montrer l'égalité d'ensemble  \cap_{t\in \mathbb{Q}^+} A_t = \cap_{t \in \mathbb{R}^+} A_t . En utilisant ce que Ulmiere a dit.
Et il faut prendre les rationnels positifs car l'hypothèse est sur les réels positifs. Réécris les définitions ça va t'éclairer.



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