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éléments de symétrie d'une fonction
bonjour,
j'étudie les fonctions paires, impaires et périodiques, et comme d'habitude au niveau des maths je ne comprends pas.
j'ai un exercice à résoudre:
f(x)= x²-3
je calcule f(-x)= -x²-3= x²-3=f(x)
h(x)=-x²-x
faut calculer h(-x) mais je bloque j'aurai tendance à faire h(-x)= x²+x
i(x)=cos(3x)
j(x)=-sin(x)+x
les deux dernières avec cos et sin je n'y arrive pas je ne comprends pas comment faire.
si quelqu'un pouvez m'éclaircir sur le sujet.
merci d'avance
Les règles de la trigonométrie nous disent que cos est une fonction paire ( cos(-x) = cos(x) ) et que sin est une fonction impaire ( sin(-x) = - sin(x) ). Cela tu peut le vérifier sur le cercle trigonométrique!
Pour calculer f(-x), tu dois remplacer x par -x dans tes expressions. Seulement avec les signes, il faut faire très attention.
Quand tu as x2 et que tu changes x en -x, c'est -x qui est mis au carré. Il faut donc obligatoirement mettre des parenthèses, ce qui donne (-x)2. Le mieux, c'est de mettre -x entre parenthèses partout.
f(-x) = (-x)2 - 3
h(-x) = -(-x)2 - (-x)
i(-x) = cos(3*(-x))
j(-x) = -sin(-x) + (-x)
Ensuite tu développe en faisant bien attention aux signes.
Les règles de la trigonométrie nous disent que cos est une fonction paire ( cos(-x) = cos(x) ) et que sin est une fonction impaire ( sin(-x) = - sin(x) ). Cela tu peut le vérifier sur le cercle trigonométrique!
donc si j'ai bien compris petitete, a chaque qu'il y a un cosinus, la fonction sera paire et à chaque fois qu'il y a sinus ce sera une fonctions impaire?
brubru777 par exemple pour je trouve i(-x)=cos(-3x). ce qui veut dire une fonction paire. est-ce bien ça?
pour ton h(-x) tu dois plutôt trouver h(-x) = -x2+x
Je pense que tu ne m'as pas bien compris!!!
prenons un exemple:
g(x) = x2 - x + cos(x) - sin(2x)
alors:
g(-x) = (-x)2 - (-x) + cos(-x) - sin(-2x)
tu sais que cos(-x) = cos(x) et sin(-2x) = - sin(2x)
donc en développant, tu auras
g(-x) = x2 + x + cos(x) + sin(2x)
la fonction g n'est pas paire. Elle n'est pas impaire non plus.
J'espère que l'exemple t'a aidé!!!
mais il faut savoir que cos est toujours une fonction paire et sin est toujours une fonction impaire
brubru777 par exemple pour je trouve i(-x)=cos(-3x). ce qui veut dire une fonction paire. est-ce bien ça?
C'est ça sauf qu'il manque une étape dans ton raisonnement.
Ce qu'il faut ajouter :
On sait que cos est une fonction paire. Donc cos(-3x) = cos(3x).
Donc i(-x) = cos(-3x) = cos(3x) = i(x)
Comme i(-x) = i(x), i est paire.
Pour j, tu sais que sin est impaire. Donc sin(-x) = -sin(x).
Tu remplaces sin(-x) dans j et tu vois ce que ça donne.
On sait que cos est une fonction paire. Donc cos(-3x) = cos(3x).
Donc i(-x) = cos(-3x) = cos(3x) = i(x)
Comme i(-x) = i(x), i est paire.
brubru777, désolé de répondre que maintenant (travail oblige), j'ai du mal a comprendre i(x)=i(-x) car i(-x) on trouve le résultat cos(-3x) c'est différent de i(x)=cos(3x) donc on n'a pas i(x)=i(-x). je pense qu'il y a quelque chose que je n'arrive pas à comprendre.
alors après calcul, je trouve:
h(-x)= -(-x²)-(-x)=-x²+x donc h(x) n'est ni paire ni impaire. est ce correct?
j(-x)=-sin(-x)+(-x) et je m'arrête là, je n'arrive pas à aller plus loin.
surtout que dans mes cours précédents,il est indiqué en effet que cos est une fonction paire cos(x)=cos(-x) et que sin est une fonction impaire sin(-x)=-sin(x), mais mon cours parle aussi de périodicité pour ces fonctions.
je suis complément perdue si quelqu'un peut m'éclairer un peu plus.
Pour h, oui.
cos est paire, ça veux dire que cos(-x) = cos(x). Mais ce n'est pas vrai que pour x. Ca veut dire cos(-quelque chose), c'est égal à cos(quelque chose).
Ici, tu as cos(-3x). Mais puisque oss est paire, cos(-3x) a la même valeur que cos(3x). Donc tu peux remplacer cos(-3x) par cos(3x) dans i(-x).
Dans j, tu fais pareil. Tu peux remplace sin(-x) par -sin(x) car ils ont la même valeur. Et +(-x), ça fait -x.
Comprends-tu ?
brubru777 je te remercie de ton aide ainsi que petitete.
Pour cos(x)=cos(-x) j'ai compris, encore merci.
je vais retravailler tout ça avec vos explications mais j'ai encore une dernière petite question, est ce qu'une fonction paire ou impaire peut aussi être périodique?
Oui, bien sûr. cos est paire et périodique de période 2
. sin est impaire et périodique de période 2. Ca te fait 2 exemples.
Pour savoir si une fonction est périodique, tu peux procéder ainsi :
Tu supposes qu'elle est périodique de période p.
Tu écris la condition de périodicité, c'est à dire
f(x + p) = f(x)
Ensuite, tu regardes s'il existe une valeur de p constante qui convient. Si c'est le cas, ta fonction est périodique de période p.
Oui, bien sûr. cos est paire et périodique de période 2. sin est impaire et périodique de période 2. Ca te fait 2 exemples.
Pour savoir si une fonction est périodique, tu peux procéder ainsi :
Tu supposes qu'elle est périodique de période p.
Tu écris la condition de périodicité, c'est à dire
f(x + p) = f(x)
Ensuite, tu regardes s'il existe une valeur de p constante qui convient. Si c'est le cas, ta fonction est périodique de période p.
ok je vais étudier ça ce weekend, je te remercie pour toutes ces explications.
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