Bonjour,
Je dois déterminer la décomposition en éléments simples de F= 1/[(X+1)(X²-X+1)].
On a donc : F= a/(X+1) + (bX+c)/(X²-X+1).
Pour trouver a, j'ai multiplié de chaque côté par (X+1), puis j'ai fait prendre à X la valeur -1, et je trouve a=1. Est-ce juste ?
Car dans le corrigé, ils utilisent la "formule des résidus" (je ne sais même pas ce que c'est !), et ils trouvent a=1/3...
Enfin, comment trouver b et c ?
Merci pour l'aide.
Bonjour,
Pour trouver a, j'ai multiplié de chaque côté par (X+1), puis j'ai fait prendre à X la valeur -1,
oui
et je trouve a=1. Est-ce juste ?
non
que vaut vraiment 1/(X²-X+1) pour X = -1 ?
Erreur de signe...
a=1/3 effectivement !
Ensuite, comment trouver b et c ?
J'ai multiplié de chaque côté par (X²-X+1) pour obtenir :
1/(X+1)=(X²-X+1)/(X+1)+bX+c.
Ensuite, que faire ?
MERCI.
une façon de faire est :
a(X²-X+1) + (bX+c)(X+1) = 1 quel que soit X, c'est à dire identique à 0X² + 0X + 1
Sinon ce que je viens de faire, c'est annuler X²-X+1 en posant X=(1-3i)/2.
On obtient alors, en remplaçant partout avec cette valeur de X :
1/2 + 3/6 i = 1/2b + c -
3/2 * b * i.
J'obtiens b=-1/3 et c=2/3.
Cette méthode est-elle correcte ? Et surtout, est-elle efficace ?
En fait, peut-on utiliser cette méthode pour TOUTES les décompositions en éléments simples ?
Merci encore.
autre méthodes sympas 1/[(X+1)(X²-X+1)]= a/(X+1) + (bX+c)/(X²-X+1)
on multiplie gauche et droite par X et on fait tendre X vers l'infini
0 = a + b
on fait simplement X= 0 1 = a + c
tu avais déjà a et donc tu peux en déduire facilement b et c sans faire de calculs compliqués.
Bonjour,
salut
F= 1/[(X+1)(X²-X+1)] = a/(X+1) + (bX+c)/(X²-X+1).
une fois a trouvé par la méthode classique (multiplication par x + 1)
ce qui est vrai pour tout réel est ici vrai pour tout complexe
plutôt que de choisir une racine de x^2 - x + 1 je choisis évidement i ...
ce qui me donne deux équations (une pour la partie réelle, une pour la partie imaginaire)
enfin comme l'a dit précédemment Razes choisir 0 et 1 donne deux équations simples pour résoudre un système ...
Bonjour
autre technique : appeler X une racine (complexe) de X²-X+1
autrement dit X² = X-1
après multiplication remplacer x par X, se servir de X² = X-1 pour effectuer les calculs, et utiliser le fait que (1, X) est une base de C pour obtenir deux équations réelles (ceoof de X, coeff de 1)
ici on obtient donc
on identifie : coeff de X : 0 = 2b+c, coeff de 1 : 1 = c-b
d'où b = -1/3 et c = 2/3
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