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Éléments simples
etudiantilois
Bonjour,
Je dois déterminer la décomposition en éléments simples de F= 1/[(X+1)(X²-X+1)].
On a donc : F= a/(X+1) + (bX+c)/(X²-X+1).
Pour trouver a, j'ai multiplié de chaque côté par (X+1), puis j'ai fait prendre à X la valeur -1, et je trouve a=1. Est-ce juste ?
Car dans le corrigé, ils utilisent la "formule des résidus" (je ne sais même pas ce que c'est !), et ils trouvent a=1/3...
Enfin, comment trouver b et c ?
Merci pour l'aide.
Bonjour,
Pour trouver a, j'ai multiplié de chaque côté par (X+1), puis j'ai fait prendre à X la valeur -1,
oui
et je trouve a=1. Est-ce juste ?
non
que vaut vraiment 1/(X²-X+1) pour X = -1 ?
Erreur de signe...
a=1/3 effectivement !
Ensuite, comment trouver b et c ?
J'ai multiplié de chaque côté par (X²-X+1) pour obtenir :
1/(X+1)=(X²-X+1)/(X+1)+bX+c.
Ensuite, que faire ?
MERCI.
une façon de faire est :
a(X²-X+1) + (bX+c)(X+1) = 1 quel que soit X, c'est à dire identique à 0X² + 0X + 1
Sinon ce que je viens de faire, c'est annuler X²-X+1 en posant X=(1-
3i)/2.
On obtient alors, en remplaçant partout avec cette valeur de X :
1/2 + 3/6 i = 1/2b + c -3/2 * b * i.
J'obtiens b=-1/3 et c=2/3.
Cette méthode est-elle correcte ? Et surtout, est-elle efficace ?
En fait, peut-on utiliser cette méthode pour TOUTES les décompositions en éléments simples ?
Merci encore.
autre méthodes sympas 1/[(X+1)(X²-X+1)]= a/(X+1) + (bX+c)/(X²-X+1)
on multiplie gauche et droite par X et on fait tendre X vers l'infini
0 = a + b
on fait simplement X= 0 1 = a + c
tu avais déjà a et donc tu peux en déduire facilement b et c sans faire de calculs compliqués.
... annuler X²-X+1 ...
mais les calculs sont ici moins sympas (à cause des racines imaginaires) que les autres méthodes proposées (qui se font quasiment "de tête").
Bonjour,
Pour trouver a, j'ai multiplié de chaque côté par (X+1), puis j'ai fait prendre à X la valeur -1, et je trouve a=1. Est-ce juste ? OUI
Car dans le corrigé, ils utilisent la "formule des résidus" (je ne sais même pas ce que c'est !), et ils trouvent a=1/3...
.
Autre astuce, tu as:
Tu as déterminé que
salut
F= 1/[(X+1)(X²-X+1)] = a/(X+1) + (bX+c)/(X²-X+1).
une fois a trouvé par la méthode classique (multiplication par x + 1)
ce qui est vrai pour tout réel est ici vrai pour tout complexe
plutôt que de choisir une racine de x^2 - x + 1 je choisis évidement i ...
ce qui me donne deux équations (une pour la partie réelle, une pour la partie imaginaire)
enfin comme l'a dit précédemment Razes choisir 0 et 1 donne deux équations simples pour résoudre un système ...
Bonjour
autre technique : appeler X une racine (complexe) de X²-X+1
autrement dit X² = X-1
après multiplication remplacer x par X, se servir de X² = X-1 pour effectuer les calculs, et utiliser le fait que (1, X) est une base de C pour obtenir deux équations réelles (ceoof de X, coeff de 1)
ici on obtient donc
on identifie : coeff de X : 0 = 2b+c, coeff de 1 : 1 = c-b
d'où b = -1/3 et c = 2/3
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