Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau autre
Partager :

Éléments simples

Posté par Profil etudiantilois 28-06-18 à 11:14

Bonjour,

Je dois déterminer la décomposition en éléments simples de F= 1/[(X+1)(X²-X+1)].

On a donc : F= a/(X+1) + (bX+c)/(X²-X+1).

Pour trouver a, j'ai multiplié de chaque côté par (X+1), puis j'ai fait prendre à X la valeur -1, et je trouve a=1. Est-ce juste ?

Car dans le corrigé, ils utilisent la "formule des résidus" (je ne sais même pas ce que c'est !), et ils trouvent a=1/3...

Enfin, comment trouver b et c ?

Merci pour l'aide.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Éléments simples 28-06-18 à 11:40

Bonjour,

Pour trouver a, j'ai multiplié de chaque côté par (X+1), puis j'ai fait prendre à X la valeur -1,
oui

et je trouve a=1. Est-ce juste ?
non

que vaut vraiment 1/(X²-X+1) pour X = -1 ?

Posté par Profil etudiantiloisre : Éléments simples 28-06-18 à 11:43

Erreur de signe...

a=1/3 effectivement !

Ensuite, comment trouver b et c ?

J'ai multiplié de chaque côté par (X²-X+1) pour obtenir :

1/(X+1)=(X²-X+1)/(X+1)+bX+c.

Ensuite, que faire ?

MERCI.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Éléments simples 28-06-18 à 11:51

une façon de faire est :

a(X²-X+1) + (bX+c)(X+1) = 1 quel que soit X, c'est à dire identique à 0X² + 0X + 1

Posté par Profil etudiantiloisre : Éléments simples 28-06-18 à 12:00

Sinon ce que je viens de faire, c'est annuler X²-X+1 en posant X=(1-3i)/2.

On obtient alors, en remplaçant partout avec cette valeur de X :

1/2 + 3/6 i = 1/2b + c -3/2 * b * i.

J'obtiens b=-1/3 et c=2/3.

Cette méthode est-elle correcte ? Et surtout, est-elle efficace ?

En fait, peut-on utiliser cette méthode pour TOUTES les décompositions en éléments simples ?

Merci encore.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Éléments simples 28-06-18 à 13:51

autre méthodes sympas 1/[(X+1)(X²-X+1)]= a/(X+1) + (bX+c)/(X²-X+1)
on multiplie gauche et droite par X et on fait tendre X vers l'infini
0 = a + b

on fait simplement X= 0 1 = a + c

tu avais déjà a et donc tu peux en déduire facilement b et c sans faire de calculs compliqués.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Éléments simples 28-06-18 à 15:56

Citation :
... annuler X²-X+1 ...
c'est la "méthode générale"
mais les calculs sont ici moins sympas (à cause des racines imaginaires) que les autres méthodes proposées (qui se font quasiment "de tête").

Posté par
Razes
re : Éléments simples 28-06-18 à 20:35

Bonjour,

etudiantilois @ 28-06-2018 à 11:14

Pour trouver a, j'ai multiplié de chaque côté par (X+1), puis j'ai fait prendre à X la valeur -1, et je trouve a=1. Est-ce juste ? OUI

Car dans le corrigé, ils utilisent la "formule des résidus" (je ne sais même pas ce que c'est !), et ils trouvent a=1/3...
C'est ce que tu as utilisé comme méthode. (jette un coup d'oeil à ce document .

Autre astuce, tu as: \dfrac{1}{(X+1)(X^{2}-X+1)} = \dfrac{a}{X+1} +\dfrac{bX+c}{X^{2}-X+1}        (E)

Tu as déterminé que a=\frac{1}{3};   Pour b et c, il suffit de choisir judicieusement des valeurs de X que tu remplace dans  (E); exemple X=0 puis X=1, tu verra, c'est très simple.

Posté par
carpediem
re : Éléments simples 29-06-18 à 13:16

salut

F= 1/[(X+1)(X²-X+1)] = a/(X+1) + (bX+c)/(X²-X+1).

une fois a trouvé par la méthode classique (multiplication par x + 1)

ce qui est vrai pour tout réel est ici vrai pour tout complexe

plutôt que de choisir une racine de x^2 - x + 1 je choisis évidement i ...

ce qui me donne deux équations (une pour la partie réelle, une pour la partie imaginaire)

enfin comme l'a dit précédemment Razes choisir 0 et 1 donne deux équations simples pour résoudre un système ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Éléments simples 29-06-18 à 15:26

Bonjour
autre technique : appeler X une racine (complexe) de X²-X+1
autrement dit X² = X-1
après multiplication remplacer x par X, se servir de X² = X-1 pour effectuer les calculs, et utiliser le fait que (1, X) est une base de C pour obtenir deux équations réelles (ceoof de X, coeff de 1)

ici on obtient \dfrac{1}{(X+1)} =  bX+c donc 1 = (bX+c)(X+1) = b(X-1) + bX + cX + c = (2b+c)X + c-b
on identifie : coeff de X : 0 = 2b+c, coeff de 1 : 1 = c-b
d'où b = -1/3 et c = 2/3

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !