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Elucubrations autour de Marignan...

Posté par
littleguy
02-01-16 à 13:12

Bonjour et meilleurs voeux à tous.

Tous les écoliers connaiss(ai)ent Marignan. Ils n'ont peut-être pas remarqué en outre que 1515 est un multiple de 15 qui ne comporte que les chiffres 1 et 5.

Corsons la bataille : examinons les multiples de 15 comportant exactement 15 chiffres, ces chiffres devant être exclusivement des 1 ou des 5 et ces multiples ne devant pas comporter deux 5 consécutifs.

Combien y en a-t-il ? Quel est le plus petit et quel est le plus grand ?

Posté par
Nofutur2
re : Elucubrations autour de Marignan... 02-01-16 à 14:08

gagnéSans grande certitude, j'en compte 192...
Le plus petit étant    111111111151515
Le plus grand étant  515151515111115
Merci pour cette énigme .. et bonne année à tous !!

Posté par
masab
re : Elucubrations autour de Marignan... 02-01-16 à 14:08

gagnéBonjour little guy,

Il y a exactement 192 multiples de 15 comportant exactement 15 chiffres, ces chiffres devant être exclusivement des 1 ou des 5 et ces multiples ne devant pas comporter deux 5 consécutifs.

Le plus petit est 111111111151515 .
Le plus grand est 515151515111115 .

Posté par
LittleFox
re : Elucubrations autour de Marignan... 02-01-16 à 14:26

perduCombien y en a-t-il ? Quel est le plus petit et quel est le plus grand ?

Il y a 168 tels nombres. Le plus petit est 111111111151515 et le plus grand est 515151515111115.

L'idée est de générer tous les nombres de 15 chiffres (1 ou 5) et sans 5 consécutifs. Il n'y a que 1364 tels nombres puis de ne garder que ceux multiples de 15.

On peut aussi approcher le problème de l'autre sens. Pour être un multiple de 15, le nombre doit finir par 5 et la somme de ses chiffres doit être un multiple de 3. Ce qui veut dire que le nombre de 5 est un multiple de 3 compris entre 1 et 8. Il y a donc 3 ou 6 chiffres 5. Le plus grand nombre est obtenu en mettant 6 chiffres 5 le plus possible à gauche (le dernier chiffre doit quand même être un 5). Le plus petit nombre est obtenu en mettant 3 chiffres 5 le plus possible à droite. Pour obtenir combien il y a de nombres, un peu de combinatoire devrait donner la solution mais comme je l'ai déjà, je ne suis pas trop tenté .

Meilleurs voeux à tous

Posté par
rschoon
re : Elucubrations autour de Marignan... 02-01-16 à 17:47

perduBonjour à tous.

Nombre de solutions :  1597
Plus petite solution : 111111111151515
Plus grande solution : 515151515111115

Merci pour l'énigme

Posté par
manitoba
re : Elucubrations autour de Marignan... 02-01-16 à 18:12

perdu
Bonjour et meilleurs voeux à tous ,

Combien y en a-t-il ?  384

Quel est le plus petit                      11111    11111    51515
et quel est le plus grand ?             51515    15151   11115

Merci pour la récré.

Posté par
dpi
re : Elucubrations autour de Marignan... 02-01-16 à 20:37

gagnéBonne Année

On retrouve les belles énigmes.
Sauf erreur il y a 192 multiples de 15.
Le plus petit est: 111 111 111 151 515
le plus grand      :  515 151 515 111 115

Posté par
royannais
re : Elucubrations autour de Marignan... 02-01-16 à 22:55

perduPour être multiple de 15 le nombre devra se terminer par 5 et la somme de ses chiffres sera multiple de 3.
Il devra contenir  3 fois ou 6 fois le chiffre 5

Le plus petit sera 111 111 111 151 515
le plus grand sera 515 151 515 111 115

pour  le nombre de solutions je dirai 160 (sans conviction)

merci pour cette énigme

Posté par
userslv
re : Elucubrations autour de Marignan... 03-01-16 à 00:28

perduBonjour,
Il y en a 3
Le + petit :  151 511 115 111 115
Le + grand : 515 151 515 111 115

Et entre nous avons : 511 111 115 111 115

Posté par
franz
re : Elucubrations autour de Marignan... 03-01-16 à 00:47

gagnéIl existe 192 nombres de 15 chiffres formés de 1 et de 5 ne comportant pas deux 5 consécutifs et multiples de 15.
Le plus petit est 111\,111\,111\,151\,515
Le plus grand est 515\,151\,515\,111\,115

Posté par
torio
re : Elucubrations autour de Marignan... 03-01-16 à 19:01

gagnéLe plus petit :   111111111151515
Le plus grand : 515151515111115

Il y en a 192 en tout :


111111111151515 111515151511515 151151115151515 511115115151515 515111151515115
111111111511515 111515151515115 151151151151515 511115151151515 515111511151515
111111111515115 115111111111515 151151151511515 511115151511515 515111511511515
111111115111515 115111111115115 151151151515115 511115151515115 515111511515115
111111115115115 115111111151115 151151511151515 511151111111115 515111515111515
111111115151115 115111111511115 151151511511515 511151115151515 515111515115115
111111151111515 115111115111115 151151511515115 511151151151515 515111515151115
111111151115115 115111151111115 151151515111515 511151151511515 515115111151515
111111151151115 115111511111115 151151515115115 511151151515115 515115111511515
111111151511115 115111515151515 151151515151115 511151511151515 515115111515115
111111511111515 115115111111115 151511111111115 511151511511515 515115115111515
111111511115115 115115115151515 151511115151515 511151511515115 515115115115115
111111511151115 115115151151515 151511151151515 511151515111515 515115115151115
111111511511115 115115151511515 151511151511515 511151515115115 515115151111515
111111515111115 115115151515115 151511151515115 511151515151115 515115151115115
111115111111515 115151111111115 151511511151515 511511111111115 515115151151115
111115111115115 115151115151515 151511511511515 511511115151515 515115151511115
111115111151115 115151151151515 151511511515115 511511151151515 515151111151515
111115111511115 115151151511515 151511515111515 511511151511515 515151111511515
111115115111115 115151151515115 151511515115115 511511151515115 515151111515115
111115151111115 115151511151515 151511515151115 511511511151515 515151115111515
111151111111515 115151511511515 151515111151515 511511511511515 515151115115115
111151111115115 115151511515115 151515111511515 511511511515115 515151115151115
111151111151115 115151515111515 151515111515115 511511515111515 515151151111515
111151111511115 115151515115115 151515115111515 511511515115115 515151151115115
111151115111115 115151515151115 151515115115115 511511515151115 515151151151115
111151151111115 151111111111515 151515115151115 511515111151515 515151151511115
111151511111115 151111111115115 151515151111515 511515111511515 515151511111515
111151515151515 151111111151115 151515151115115 511515111515115 515151511115115
111511111111515 151111111511115 151515151151115 511515115111515 515151511151115
111511111115115 151111115111115 151515151511115 511515115115115 515151511511115
111511111151115 151111151111115 511111111111515 511515115151115 515151515111115
111511111511115 151111511111115 511111111115115 511515151111515
111511115111115 151111515151515 511111111151115 511515151115115
111511151111115 151115111111115 511111111511115 511515151151115
111511511111115 151115115151515 511111115111115 511515151511115
111511515151515 151115151151515 511111151111115 515111111111115
111515111111115 151115151511515 511111511111115 515111115151515
111515115151515 151115151515115 511111515151515 515111151151515
111515151151515 151151111111115 511115111111115 515111151511515

Posté par
derny
re : Elucubrations autour de Marignan... 04-01-16 à 15:54

gagnéBonjour
Sauf oublis je trouve 192 multiples
le plus petit : 111 111 111 151 515
le plus grand : 515 151 515 111 115

Posté par
sbarre
re : Elucubrations autour de Marignan... 04-01-16 à 18:17

gagnéBonjour et bonne annee a tous !
(enfin surtout pour littleguy parce que le temps que ce post ne soit plus masque, il y aura peremption ou presque...).

Je trouve qu'il doit y avoir soit 6 fois la valeur 5, soit 3 fois avec respectivement 126 et 66 combinaisons possibles (soit un total de 192).
La plus petite contient 3 fois la valeur 5 et est : 111111111151515
La plus grande contient 6 fois la valeur 5 et est : 515151515111115

Merci et a la prochaine.

Posté par
geo3
re : Elucubrations autour de Marignan... 04-01-16 à 22:45

perduBonsoir
Je pense bien qu'il y en a 384
Le plus petit est       111111111151515
Le plus grand est     515151515111115
A+

Posté par
albatros44
re : Elucubrations autour de Marignan... 05-01-16 à 18:54

perduBonjour à tous

81 solutions
Min = 111111111151515
Max=515151515111115

Posté par
sarriette84
re : Elucubrations autour de Marignan... 06-01-16 à 17:09

perduBonjour et bonne année!
Je me lance:
Pour être divisible par 15, un nombre doit être divisible par 3 ET 5, donc ce nombre doit se terminer par 5. Avec les limites imposées par l'énigme (pas plus de deux 5 consécutifs) on a 3 possibilité:
- Soit on a trois 5 et douze 1
- Soit on a six 5 et neuf 1
- Soit on a neuf 5 et six 1

Puisque on sait qu'un des 5 est à la fin du nombre on a :
(2 parmi 14) + (5 parmi 14) + (8 parmi 14) possibilités, soit 5096

Comme plus petit nombre respectant l'énoncé je propose: 111 111 111 115 155
Et comme plus grand: 551 551 551 515 115.

Voilà merci pour l'énigme et encore bonne année

Posté par
trapangle
re : Elucubrations autour de Marignan... 07-01-16 à 12:39

gagnéBonjour,

Première participation à une énigme sur ce forum pour moi.

Il y en a 192
Le plus petit est 111111111151515
Le plus grand est 515151515111115

Je ne sais pas si je suis censé montrer comment je la résous, donc allons-y :

M15 M5 et M3
M5 donc le dernier chiffre est un 0 ou un 5 mais il ne peut pas y avoir de 0, donc c'est un 5.
Le dernier chiffre est un 5 donc l'avant-dernier est un 1 (pas deux 5 consécutifs).
M3 donc la somme des chiffres est divisible par 3.
Comme il n'y a pas assez de place pour plus que huit 5, les différentes sommes de chiffres sont :
- 8*5 + 7*1 = 47
- 7*5 + 8*1 = 43
- 6*5 + 9*1 = 39 divisible par 3
- 5*5 + 10*1 = 35
- 4*5 + 11*1 = 31
- 3*5 + 12*1 = 27 divisible par 3
- 2*5 + 13*1 = 23
- 1*5 + 14*1 = 19

Il y a donc soit six 5 et neuf 1, soit trois 5 et douze 1.

Pour le premier cas, j'ai dénombré les possibilités, j'en trouve 126.

Pour le deuxième cas, il y a trois 5 et un des 5 est déjà placé au chiffre des unités, il reste à placer deux 5 non consécutifs sur 13 places, c'est C(13,2) - 12 possibilités où les 5 sont consécutifs = 66

La somme des nombres de possibilités donne 126 + 66 = 192.

Merci pour l'énigme

Posté par
LeDino
re : Elucubrations autour de Marignan... 07-01-16 à 17:59

gagnéBonjour,

Il y a au total  192  nombres.

Le plus petit est   111 111 111 151 515
Le plus grand est   515 151 515 111 115


Explication :

Divisible par 15 équivaut à divisible par 3 et par 5.
Donc terminaison par un 5 et somme des chiffres multiple de 3.
Il n'y a donc que deux cas possibles :  trois 5 + douze 1     ou    six 5 et neuf 1
Le min (avec trois 5) et le max (avec six 5) en découlent immédiatement.

Nombres avec trois 5 :  
Le dernier chiffre est un 5.
Pour les deux autres 5, ils sont forcément suivis d'un 1.
Donc le problème revient à placer 12 boules, dont deux portant 51 et dix portant 1.
Donc 2 parmi 12 = 66  possibilités

Nombres avec six 5 :  
Le problème revient à placer 9 boules, dont cinq portant 51 et quatre portant 1.
Donc 5 parmi 9 = 126  possibilités

Au total :  66 + 126 = 192 nombres.

Merci pour cette jolie énigme encore une fois bien ficelée .

Posté par
veleda
re : Elucubrations autour de Marignan... 09-01-16 à 17:10

gagnébonjour,
j'ai perdu l'habitude  des énigmes mais je tente

soit N un nombre   remplissant les conditions du texte
x le nombre de 5 intervenant dans son écriture
y le nombre de 1 intervenant dans son écriture

*x+y=15
**N  se termine par 15
***5x+1y=3k

* et***=>4x+15=3k   donc x est nécessairement un multiple de 3
(x=3   ,y=12) et (x=6,y=9)  sont les seuls couples   solutions

   N=\bar{.............15}

cas x=3,y=12
le nombre formé par les 13 chiffres de tête  comprend deux 5 et 11 chiffres 1,il y a (_2^{12})=66 façons de placer les chiffres 5 pour qu'ils ne soient pas voisins
donc 66 nombres N répondant aux conditions

cas x=6;y=9
le nombre formé par les 13 chiffres de tête comprend 5 chiffres 5 et 8 chiffres 1,il y a(_5^9)=126façons de  placer les chiffres 5 pour qu'ils ne soient pas voisins
donc 126 nombres N répondant aux conditions

ce qui fait en tout  192 nombres solutions

le plus petit  N   111111111151515

le plus grand  N 515151515111115

merci pour ce petit problème,je viens de passer un agréable moment à chercher et j'espère avoir trouvé
    
    

Posté par
evariste
re : Elucubrations autour de Marignan... 10-01-16 à 14:16

perdu186 nombres
plus petit :  111111111151515
plus grand :515151515111115

Posté par
sanantonio312
re : Elucubrations autour de Marignan... 10-01-16 à 15:01

perduBonjour,
j'en trouve 5461.
Le plus petit est 111111111111555.
Le plus grand est 555555555555555.
Mais ai-je bien compris la question?

Merci littleguy

Posté par
LEGMATH
re : Elucubrations autour de Marignan... 10-01-16 à 18:36

perduBonjour  littleguy ,

Je présente  meilleurs vœux à tous.

Pour répondre à l' énigme :
Il y a 193 multiples de 15.
le plus petit :    111111111151515
le plus grand : 515151515111115

Merci.

Posté par
LittleFox
re : Elucubrations autour de Marignan... 13-01-16 à 15:18

perdu
J'ai finalement développé l'approche combinatoire ... et je n'obtiens pas le même résultat.
Je suis plutôt sûr maintenant que le nombre de tel nombres est 192 et non 168 .

Il y a donc deux possibilités, soit les nombres sont composés de trois 5 et douze 1. Soit ils sont formés de six 5 et neuf 1. Comme le nombre fini par 5 et les 5 ne peuvent se suivre on  peut fabriquer ces nombres avec les blocs '51', '1' et '5' (ce dernier toujours comme chiffre des unités). Dans le premier cas on a 2 blocs '51' et 10 blocs '1', dans le second 5 blocs '51' et 4 blocs '1'. On a des permutations avec répétitions. \frac{12!}{2!10!} = 66 dans le premier cas et \frac{9!}{5!4!} = 126 dans le second pour un total de 192 nombres.

Nombres que je sais générer à partir de mes blocs, je pense donc que ce sera un pour moi .

Posté par
plumemeteore
re : Elucubrations autour de Marignan... 18-01-16 à 09:21

perduBonjour.
Le plus petit est 111111111111555.
Le plus grand est 555515555155515.
Le nombre se termine par 5 et les nombres respectifs de 1 et de 5 sont divisibles par 3.

Posté par
sanantonio312
re : Elucubrations autour de Marignan... 19-01-16 à 13:54

perduJe suis bon pour le
Je n'ai pas vu "ces multiples ne devant pas comporter deux 5 consécutifs. "
Que âne!

Posté par
totti1000
re : Elucubrations autour de Marignan... 20-01-16 à 16:38

gagnéBonjour littleguy,

Je propose 192 nombres qui vérifient les conditions.
Le plus petit : 111111111151515.
Le plus grand : 515151515111115.

Merci pour l'énigme.

Posté par
littleguy
re : Elucubrations autour de Marignan... 24-01-16 à 09:03

Fin de l'énigme.

C'était bien 192, résultat finement expliqué par plusieurs d'entre vous.

Merci pour votre participation.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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:)0,00 %0,00 %:(
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