Nos chères têtes blondes ont longtemps été abreuvées de l'expression "faire-passer". Je me suis posé la question : pourquoi certains, et même un pourcentage non négligeable d'entre elles se mélangent souvent les pinceaux lorsqu'il s'agit de faire passer un terme d'une égalité d'un membre à l'autre.
Il me semble que la raison principale est que "faire passer" signifie en fait deux choses totalement différentes.
Première interprétation
Avec l'équation ; x + 3 = 7, on dit que l'on "fait passer" le 3 de l'autre côté, mais attention, il faut changer son signe donc ça devient -3. Déjà, cette simple opération est tout simplement apprise par cœur sans qu'elle soit comprise.
x = 7 - 3 = 4
Autre exemple, avec un nombre négatif cette fois :
x - 7 = 13
On "fait passer" le -7 de l'autre côté, en n'oubliant pas de changer son signe.
x = 13 + 7 = 20
Deuxième interprétation
Avec l'équation 3 x = 7, on dit que l'on "fait passer" le 3 de l'autre côté, mais attention, il faut la mettre au dénominateur donc le second membre devient . Là aussi, cette simple opération est tout simplement apprise par cœur sans qu'elle soit comprise.

Dans les deux cas, donc, on "fait passer", mais dans le premier cas, il faut changer le signe du terme voyageur, et dans l'autre, il faut le mettre au dénominateur sans changer son signe. Dans la mesure où ces opérations, au demeurant extrêmement simples, et donc apprises par de jeunes enfants, sont le plus souvent non comprises et par conséquent apprises par cœur, certains enfants font passer un terme d'une addition au dénominateur de l'autre membre, éventuellement en le changeant de signe pour faire bonne mesure, ce qui donne :
De x + 3 = 7 on obtient alors ou pire encore
et d'autres (peut-être les mêmes) font passer un facteur d'un produit dans l'autre membre en changeant son signe ce qui donne :
De 3 x = 7 devient alors x=7-3

Ce que je suggère
La justification de la première interprétation est tout simplement :
Si A = B alors A + C = B + C et A - C = B - C et réciproquement. Cela revient à dire : ajouter ou retrancher la même quantité aux deux membres d'une équation conduit à une équation équivalente, c'est-à-dire une équation qui a les mêmes solutions que la première équation.
Dès lors, pour "faire passer"  le 3 de l'autre côté, je préfère dire "j'ôte 3 des deux membres" :
Donc x + 3 = 7 devient
x + 3 - 3 = 7 -3
Il me semble que très jeunes, les enfants comprennent que + 3 - 3 est une opération nulle. Et par conséquent on trouve x = 7 -3 = 4
De même, la justification de la deuxième  interprétation est tout simplement :
Si A = B alors A * C = B * C et A / C = B / C, dès lors que C n'est pas nul,  et réciproquement. Cela revient à dire : multiplier les deux membres d'une équation par  la même quantité non nulle conduit à une équation équivalente, c'est-à-dire une équation qui a les mêmes solutions que la première équation.
Dès lors, pour "faire passer"  le 3 de l'autre côté dans le deuxième exemple, je préfère dire "je divise les deux membres par 3 :
Donc 3 x = 7 devient

Très jeunes, les enfants comprennent que * 3 / 3 est une opération nulle. Et par conséquent on trouve

J'avoue que je ne comprends pas pour quelle raison cette expression "faire passer" perdure, et chaque fois que j'explique ma façon de voir les choses à un élève (même à un Terminale !) il dit "je comprends mieux maintenant".

A propos du produit en croix
Face à une proportion (une proportion est une égalité de deux rapports, enfin, c'est ce que l'on m'a appris au lycée, mais je pense que ce terme a disparu des espaces d'enseignement aujourd'hui), le réflexe est de faire le "produit en croix"
Par exemple, si l'on a on dit que l'on fait le "produit en croix" ou pire, que c'est un "produit en croix". On obtient :
9*(x-2)=7*(3x+2)
Je conteste et combats cette expression. Pour commencer, on ne fait pas un produit, mais deux. Et deuxièmement, beaucoup se perdent dans cette opération parce qu'ils ne la comprenne pas. De mon temps (il y a longtemps, longtemps...) on disait "dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens". Cela signifiait qu'une proportion pouvait s'écrire (a,b,c,d) et que a et d étaient les "extrêmes", alors b et c étaient les "moyens", donc ad=bc. Je pense que ces expressions sont également aujourd'hui désuètes. Mais qu'est-ce qui nous empêche, si l'on a , de multiplier les deux membres par b, ce qui donne , et ensuite de multiplier les deux membres par d, ce qui donne ad=bc. Et puisque je suis paresseux, qu'est-ce qui m'empêchera d'effectuer une seule multiplication, cette fois par le produit des dénominateurs :

devient alors :

soit

J'aimerais avoir l'avis des professeurs de petites classes et peut-être aussi de grandes classes.

Est-ce que certains d'entre eux ont une approche similaire ?

Ou bien est-ce que je vais rencontrer une opposition farouche à cette tentative de désacralisation d'expressions depuis si longtemps consacrées ?

Merci de me dire ce que vous en pensez.