encadrement

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encadrement 
Posté par 
flight  03-10-23 à 22:22
Bonsoir 

je vous propose l'exercice suivant  : 

Soient trois réels x,y,z tels que  xy+yz+xz =3  et x+y+z=5.

Montrez que  -1z13/3.
 Posté par 
jandri re : encadrement   03-10-23 à 23:10
Bonsoir,

il y a simplement à faire l'étude d'une fonction bien choisie. On peut généraliser :

soient trois réels  tels que  et  

montrez que   et que 
 Posté par 
carpediemre : encadrement   04-10-23 à 09:54
salut

et pourquoi pas la même inégalité pour x et y ?

on en déduit déjà que :

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donc avec  alors 

mais ce n'est pas ce qui est demandé ... 

x, y et z sont les racines du polynome 

il nous faut donc déterminer xyz

to be continued ... 
 Posté par 
jandri re : encadrement   04-10-23 à 09:56
Il est clair que x, y et z jouent le même rôle.
 Posté par 
fabo34re : encadrement   04-10-23 à 10:49
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Si on considère le point dans un repère de l'espace:

Donc le point M est sur l'intersection de la sphère centrée en O de rayon  et du plan  . Soit un cercle dont il suffirait de déterminer l'altitude la plus haute et la plus basse. Mais pas sûr que cela simplifie le problème
 Posté par 
LittleFoxre : encadrement   04-10-23 à 11:29
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Dans l'espace, on voit bien que le problème est symétrique par rapport au plan x=y.

En substituant y par x, on obtient  et .

En substituant z par p-2x, on obtient . Dont les solutions sont .

Ce qui donne pour z: 

Pour p=5 et q=3, cela donne 

On peut vérifier que p²-3q est toujours positif:

 Posté par 
fabo34re : encadrement   04-10-23 à 12:14
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Solution "lycéenne":

 sont racines de   .

Ici le déterminant vaut:

D'où l'encadrement sur  afin qu'il existe des solutions.
 Posté par 
fabo34re : encadrement   04-10-23 à 12:19
Désolé pour les coquilles 
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Solution "lycéenne":

 sont racines de   .

Ici le déterminant vaut:

D'où l'encadrement sur  afin qu'il existe des solutions.
  Posté par 
flightre : encadrement   04-10-23 à 15:31
Bonjour et merci pour votre participation , Bravo à ceux qui ont trouvé