Bonsoir,

je ne sais pas si c'est juste, à corriger éventuellement :

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Soit a un entier naturel strictement positif vérifiant les hypothèses. Soit un entier naturel n strictement positif. On a :

car la racine n-ième d'un entier naturel strictement positif est strictement positive.

Soit des entiers naturels premiers présents à la fois dans la décomposition en facteurs premiers de m et dans celle de q tels que :



En élevant à la puissance n et par les décompositions en facteurs premiers, on obtient :



Or a est un entier naturel par hypothèse, donc

pour tout indice i compris entre 1 et s. De ce fait, car a est strictement positif (ainsi l aussi) et .

Finalement, .

Salut Kernelpanic

L'hypothèse ci-dessous est une restriction de l'hypothèse initiale. Si c'est une déduction, elle n'est pas argumentée.

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Kernelpanic

Soit des entiers naturels premiers présents à la fois dans la décomposition en facteurs premiers de m et dans celle de q tels que :

Bonjour

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Si avec p et q premiers entre eux alors . Comme et que p et q n'ont pas de facteurs premiers communs , et c'est fini .

L'idée de Imod est bien plus rapide.

Je développe mon idée mousse42, elle manque de rigueur... je ne sais pas si mes corrections vont "effacer" la restriction dont tu me parles, je veux bien que tu m'expliques ce qui ne va pas sinon (l'arithmétique n'a jamais été mon fort)

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Avec mes notations, j'écris la décomposition en nombres premiers de m. Si m = 1, j'écris alors m = 2⁰. Je fais de même avec q. Je regarde les plus grands premiers dont la puissance est non nulle dans la décomposition de m et de q, et je prends le maximum de ceux-ci. Si m ou q est égal à 1, cet entier sera 2 (je l'impose).  Ce maximum, je le note p_s, et je prends alors tous les entiers premiers inférieurs à celui-ci (c'est l'ensemble dont je parlais), et je réécris la décomposition en facteurs premiers de m et q comme dans ma preuve pour que m et q admettent les mêmes nombres premiers dans leur décomposition.

Bonjour tout le monde

Imod : Il me semble que cette preuve est incomplète (quels sont les théorèmes utilisés)

Kernelpanic : Dans ta preuve tu commences par "Soit ....", pour moi il me semble que ce c'est soit un raisonnement par disjonction de cas (autres cas à traiter", soit une hypothèse équivalente à celle de l'énoncé (donc à démontrer)

@Kernelpanic

Nous avons la même méthode , j'ai simplement simplifié la fraction initiale pour ne pas m'embarrasser avec des facteurs communs au numérateurs et au dénominateur .

Imod

Imod

Oui, disons que je suis "jaloux" ne pas avoir imposé directement p et q premiers entre eux. Je pensais au départ que cela posait problème, mais en réalité non .

mousse42

Je ne suis pas certain de comprendre ce que tu veux dire... je vais courir, je reviens dans la soirée pour retenter ma chance

Bonne journée.

@Mousse42 : tu seras convaincu si je te dis que tout rationnel est représenté par une unique fraction irréductible ?

Imod

Imod, toujours pas, j'exige une preuve bêton , qui articule des théorèmes connus, sans devinette (eh oui, il fait chaud, je dois maintenir mon cerveau à une température stable

OK : c'est ton problème donc tu choisis les règles du jeu

J'ai une valise pleine de théorèmes qui malheureusement n'ont pas de nom .

Et pourtant ils sont vrais

Imod

Bon voici une proposition :

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On pose avec , on a donc , par conséquent , et puisque , on déduit du lemme de Gauss  que d'où

En fait tu dis exactement la même chose que nous avec beaucoup de formalisme . C'est important de savoir formaliser proprement ses idées , mais l'essentiel c'est l'idée

Imod

Oui, bon, je ne suis pas trop d'accord, dans notre cas : trouver l'idée n'est pas très dur, elle vient même naturellement, le formaliser par une preuve minimale était la petite difficulté . On sait tous qu'un diamant mal taillé perd de sa valeur !

Je connais pas le lemme de Gauss (peut-être que si mais le nom ne me dit rien) mais la démo de Imod me semble évidente et très correcte. Je la préfère nettement

Salut littleFox  

La démo de Imod n'utilise pas le lemme de Gauss, mais une idée non explicitée mathématiquement. Ce qui annule la preuve quel dommage.

Voici une preuve que , une évidence qui demande plusieurs lignes de raisonnement

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On pose avec et , on a donc puisque , il existe tels que par conséquent or d'où

Je te trouve un peu lourd Mousse

Es-tu prêt à admettre comme résultat élémentaire que tout rationnel peut-être représenter par une unique fraction irréductible ? Si oui , tout entier représenté par a/b irréductible a un dénominateur 1 . Après , s'il faut revenir aux sources à chaque exercice ...

Ceci dit , mettre complètement en forme la solution d'un problème est plutôt formateur et rassurant

Imod

En fin de compte sous la torture ...

Juste pour information ton argument n'est pas aussi évident à trouver même pour  des personnes de ton niveau. n racine k ième est soit naturel, soit irrationnel
On pourrait les qualifier de lourds également... je ne crois pas qu'ils le sont, j'ai terminé sur ce fil.

à+

Je vois que tu as du mal à lâcher le morceau

Fais comme tu le sens , j'ai toujours fait comme ça et j'arrive à très bien vivre avec  

Imod