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Bonjour à tous !!!

Supposons b=n et c=ab=an
On a 3a=1+n+a
a=(1+n)/2
b=n
c=ab

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3 = 1 + 2

3k = k + 2k

3k = k + (2k-1) + 1        'pour faire apparaître 3 termes

3k/(k(2k-1)) = k/(k(2k-1)) + (2k-1)/(k(2k-1)) + 1/(k(2k-1))        'en divisant par k(2k-1)

3/(2k-1) = 1/(2k-1) + 1/k + 1/(k(2k-1))        'pour faire apparaître la forme voulue

je pose N=2k-1 impair donc

3/N = 1/a + 1/b + 1/c

avec :
a=N (impair)

b=(N+1)/2 pas forcément impair

c=N(N+1)/2 pas forcément impair

par exemple, en prenant k=4, on a N=7, a=7, b=4 et c=28 (ici b et c sont pairs)

3/7 = 1/7 + 1/4 + 1/28

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si on veut que les trois nombres a, b et c soient impairs, il suffit que b le soit :

(N+1)/2 = 2q+1

N = 4q+1

par exemple q=3, N=13, a=13, b=7, c=91 (b et c impairs)  'le cas q=2 donne N=9 divisible par 3'

3/13 = 1/13 + 1/7 + 1/91

donc, dans l'absolu, b et c peuvent ne pas être impairs

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Nofutur> Pas mal mais ta solution marche "seulement" lorsque (n'oublie pas que a, b et c doivent être impairs )

Rudy> Tu ne contredis pas mon énoncé. Simplement, comme Nofutur, tu trouves une décomposition qui ne colle pas pour toutes les valeurs de n.

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quand je dis N=2k-1, N peut être quelconque, impair ; il suffit d'xclure les valeurs de k qui rendent N multiple de trois

pourquoi dis-tu que j'ai "une décomposition qui ne colle pas pour toutes les valeurs de n" ?

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je crois comprendre ta remarque

tu voudrais, sur l'exemple du 3/7 que l'on trouve b et c impairs

c'est cela ?

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Essaye, avec ta méthode, de donner une décomposition de

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existe t-il une preuve élémentaire ? (pour l'instant, bien maigre a,b et c non multiples de 3)

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Oui, la preuve dont je dispose n'utilise que des notions élémentaires.

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Je reprends mon idée initiale et tente de l'adapter à ton énoncé que je n'avais pas compris de prime abord

3 = 1 + 2

3k = k + 2k

3k = k + (2k-p) + p        'pour faire apparaître 3 termes

3k/(k(2k-p)) = k/(k(2k-p)) + (2k-p)/(k(2k-p)) + p/(k(2k-p))        'en divisant par k(2k-p)

3/(2k-p) = 1/(2k-p) + 1/k + 1/(k(2(k/p)-1))       'pour faire apparaître la forme voulue

je choisis :

* la valeur de p impair de sorte que N et a valant 2k-p soient impairs

* la valeur de k impair de sorte que b=k soit impair

* k/p soit entier pour que c=k(2(k/p)-1) soit impair

la seule inconnue à laquelle je ne sais pas répondre c'est de savoir s'il est possible, avec ces contraintes :
* p, k impairs
* k/p entier
de générer n'importe quelle valeur de N... ?

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3 = n/a + n/b + n/c
Soit d le diviseur par excès du quotient de n divisé par 3.
Si a vaut d, il reste 1/d ou 2/d pour n/b + n/c.

Si n/b + n/d = 1/d, nd/b + nd/c = 1
Si b vaut (n+1)*d :
nd/[(n+1)*d] + nd/c = 1
et nd/[(n+1)*d] + d/[(n+1)*d] = 1
nd/c = d/[n+1)*d]; c = n*(n+1)*d = n*b
Exemple avec 29 :
a = d = 10; b = 300; c = 8700
29/10  + 29/300 + 29/8700) = (25230+841+29)= 26100/8700 = 3.

Si n/b + n/d = 2/d, nd/b + nd/c = 2.
Si nd est impair, et si b vaut (nd+d)/2 :
2nd/(nd+d) + nd/c = 2
et 2nd/(nd+d) + 2d/(nd+d) = 2
nd/c = 2d/(nd+d); c = (n+1)*nd/2 = n(n+d)/2 = n*b
Exemple avec 13 :
a = d = 5; b = 35; c = 455
13/5 + 13/35 + 13/455 = (1183+169+13)/455 = 1365/455 = 3.
---------------------
Si nd est pair : soit d' = d/2 (car n et d sont tous deux pairs)
nd'/b + nd'/c = 1
b vaut (n+1)*d' et c vaut n*b
Exemple avec 22 :
22/8 + 22/92 + 22/2024 = (5566+484+22)/2024 = 6072/2024 = 3.

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Ce n'est pas mal du tout mais ta solution ne fonctionne que pour les valeurs du type où et sont deux entiers impairs et distincts tels que divise .  Tu évites donc les entiers premiers et congrus à 3 modulo 4. Ta nouvelle méthode ne permet donc toujours pas de décomposer ...

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Attention, n est impair et il faut trouver une décomposition avec a, b et c impairs.