bonjour à tous,
Je n'arrive pas à traiter un exercice. Pourriez-vous me débloquer?

Soient E un IR-ev de dim 3 et B une base de E
Soit u l'endomorphisme sur Edont la matrice dans la base B est
  u_B = (   -1   -1   -2
            -1   -1   2
            -1    1   0 )

1) déterminer les valeurs propres de u

J'ai trouvé -2  et 2   avec -2 à la multiplicité 2

2) L'endomorphisme u est il diagonalisable? Si oui, déterminer une base de E dans laquelle la matrice u soit diagonale.

J'ai trouvé trois vecteurs propres...
E(-2)= vect( (1,1,0),(2,0,1) ) = vect (u1,u2)
E(2)= vect( (-1,1,1) )= vect (u3)

Donc u est diagonale dans la base U= (u1,u2,u3)

3) Calculer (u_B)^n
Là ça se corse.
J'ai trouvé des résultats différents selon que n est pair ou impair.
J'ai montré par récurrence que :

si n pair,
u^n est diagonale avec 4^n dans la diagonale

si n impair,
u^n=  4^n  ( -1   -1   -2
              -1  -1   2
              -1  1    0  )


4) on désigne par Xu le polynôme caractéristique de u. Déterminer le reste de la division euclidienne de X^n par Xu.

J'ai donc essayé de faire la division euclidienne de
X^n par Xu= -(2+X)^2 (X-2)

Mais je ne vois rien du tout se dégager.


5) en déduire un nouveau calcul de (u_B)^n