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ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite***

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
23-03-08 à 16:25

Bonjour

Un problème plutôt mathématique maintenant ^^

On se propose d'établir une petite propriété remarquable de la suite suivante

\Large\blue\fbox{u_n=3^n+4^n+6^n+7^n+12^n+43^n+1806^n-1} avec \Large n\ge 1

Votre mission !

\rm\Large\red Donnez moi la forme des entiers qui sont premiers avec \underline{tous} les termes de u_n

ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite

\bullet Un raisonnement est indispensable pour avoir son smiley !
\bullet L'utilisation d'un programme ou d'une calculatrice ou de n'importe quel outil informatique est interdite !


A vous de jouer

Posté par
rogerd
re : ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite*** 24-03-08 à 13:15

gagnéBonjour et encore merci à Monrow.

D'abord la réponse:

Les nombres premiers avec tous les termes de la suite sont les produits d'une puissance de 3 et d'une puissance de 7

Maintenant la justification:

Cherchons ces nombres par leurs facteurs premiers, qui ne doivent donc diviser aucun terme de la suite.
On est ramené à chercher les nombres premiers qui ne divisent aucun u_n.

C'est le cas de 3 car on voit facilement que tous les u_n sont congrus à 2 modulo 3.
C'est aussi le cas de 7, les seuls restes possibles étant 2,4 et 5.

Mais c'est tout, car

*2 divise u_1
*43 divise u_9
* Pour p premier différent de 2,3,7 et 43, p divise u_(p-2). Pour s'en assurer, il suffit de vérifier que le produit 4*3*7*43*u_n est divisible par p.
Or ce nombre N s'écrit
4*7*43*3^{p-1}+3*7*43*4^{p-1}+2*7*43*6^{p-1}+4*3*43*7^{p-1}+7*43*12^{p-1}+4*3*7*43^{p-1}+2*1806^{p-1}-4*3*7*43

On sait (Fermat) que 3^{p-1}, 4^{p-1}.. sont congrus à 1 modulo p.

Donc N est congru, modulo p, à
4*7*43+3*7*43+2*7*43+4*3*43+7*43+4*3*7+2-4*3*7*43, qui est nul.

3 et 7 sont les seuls nombres premiers qui ne divisent pas tous les u_n. D'où le résultat.

Posté par
toddsalim
salut 24-03-08 à 15:21

perdusalut j'espere bien que ca sera une bonne reponse

salut

Posté par
Nofutur2
re : ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite*** 24-03-08 à 20:13

gagnéCette satanée énigme valait bien 4 ou 5 étoiles.
Pour n>0, un = 3n + 4n + 6n + 7n + 12n + 43n + 1806n - 1.
On remarque au départ que 1806 = 6*7*43
De plus, lorsque qu'on ajoute les inverses des entiers concernés et qu'on réduit au même dénominateur on obtient :
1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/7+ 1/12 + 1/43 + 1/1806 = 3612/3612 =1
D'après le petit théorème de Fermat :
Soit p un nombre premier et a un entier premier avec p, alors ap  = a (p) ou a p-1=1 (p)
Si p est un nombre premier différent de 2, 3, 7 et 43, alors :
3(p-1) = 4(p-1) = 6(p-1) = 7(p-1) = 12(p-1) = 43(p-1) = 1806(p-1) = 1 (p)
On en déduit : 3612* 3 (p-1) = 3612 (p) ou 3612* 3 (p-2) = 3612 *(1/3) (p).
On effectue la même opération pour 4,6,7,12,43 et 1806, ce qui donne :
3612 * u p-2 = 3612*(1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/7 + 1/12 + 1/43 + 1/1806 - 1)
D'après la remarque concernant la somme des inverse, on en tire que  3612 * u p-2 = 0 (p).
Pour tout p premier différent de 2, 3, 7 et 43, u p-2 est multiple de p.
Tout nombre combinaison de nombres premiers (N = p1 a * p2 b*…)où intervient au moins un nombre premier différent de 2,3,7 ou 43 n'est donc pas premier avec les termes de un.
Reste le cas de 2,3,7 et 43
- p=2 ne convient pas puisque u n est pair (étude de parité),

- pour p=3, on obtient un = 4n + 7n + 43n -1= (1)n+(1)n+ (1)n -1= 2  (modulo 3)
p=3 convient donc.

- pour p=7, on obtient
un = 3n + (-3)n + (-1)n + (-2)n + 1n - 1 = 3n + (-3)n + (-1)n + (-2)n (modulo 7).
En calculant les 6 premières valeurs de un, et en utilisant le fait que a6+k= a 1+k (modulo 7) pour a premier avec 7, on déduit que un ne prend jamais de valeur nulle modulo 7.
Donc 7 convient.

- pour p=43 enfin (ce fut assez long).
On utilise le fait que a p+1(43) = a p (43) * a (43), pour a=3,4,6,7 et 12.
Pour p=9, on trouve u9 = -11 + 16 + 1 -1 -4 -1= 0 modulo 43.
Donc 43 ne convient pas.

Les nombres entiers qui sont premiers avec tous les termes de la suite  un, sont donc de la forme 3a*7b, a et b appartenant à .

Posté par
maxem
ENIGMA 19 :les premiers avec cette suite 27-03-08 à 07:56

perduSoit P l'ensemble des nombres premiers premiers avec tous les u_n .
Remarque : 1806=2.3.7.43    .  
Soit p un nombre premier distinct de 2, 3, 7, 43 .
Par le petit theoreme de Fermat, et en travaillant dans Z/pZ on a:
u_(p-2)=u_(-1)= (1/3)+(1/4)+(1/6)+(1/12)+(1/43)+(1/1806)-1=0  .
Ainsi p divise u_(p-2).
Par ailleurs pour savoir si un nombre premier est dans P il suffit
(par le petit theoreme de Fermat) de verifier que u_1,...,u_(p-1)
ne sont pas des multiples de p.
On voit ainsi (a la main) que 3 et 7 sont dans P mais pas 2 .
Pour 43 les calculs sont fastidieux et me cassent les pieds...
Bref : les nombres qui sont premiers avec tous les u_n sont ceux
qui n'ont que 3 et 7 (et 43 s'il est dans P) comme facteurs premiers.

Posté par
Angus
*challenge en cours* 27-03-08 à 18:08

*challenge en cours*

Posté par
Angus
* challenge en cours * 27-03-08 à 18:21

je suis désolé, je n'avais pas compris le fonctionnement des énigmes officielles... si vous pouviez ne pas compter ma réponse... Je vais chercher pour donner ma réponse plus tard...
merci...

Posté par
master_och
re : ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite*** 28-03-08 à 04:37

gagnéBonsoir Monrow

Ce problème ressemble à un exercice proposé dans l'olympiade international 2005, mais celui ci est plus compliqué (j'aurais mis 4 étoiles pour cette énigme !!)
Ma démo va utiliser dans sa première partie le petit théorème de Fermat
soit p un nbre premier autre que 2,3,7 et 43 (donc p>3)
donc selon fermat: 3p-1 1[p](1), 4p-1 1[p](2) , 6p-1 1[p](3), 7p-1 1[p](4),  12p-1 1[p](5) et 43p-1 1[p](6), 1806p-1 1[p](7)
on remarque que PPMC(3, 4, 6, 7, 12, 43, 1806) = 3x4x7x43 = 3612
ainsi donc (1)==>3612 x 3p-21204[p] (car 3612=3x1204)
de même (2)==>3612 x 4p-2903 [p]
(3)==> 3612 x 6p-2602 [p]
(4)==> 3612 x 7p-2 516 [p]
(5) ==> 3612 x 12p-2 301 [p]
(6) ==> 3612 x 43p-2 84 [p]
(7) ==> 3612 x 1806p-2 2[p]

on obtient donc 3612 x (3p-2+4p-2+6p-2+7p-2+12p-2+43p-2+1806p-2-1) 1204+903+602+516+301+84+2-3612 [p] 0 [p]
==> 3612 Up-2 0[p] or 3612 n'est pas divisible par p donc p divise Up-2.
ainsi tout nbre premier p différent de 2,3,7 et 43 divise le (p-2) ème terme de Un, donc p n'est pas premiers avec tous les termes de la suite.
_________________________________________________

Revenons à ce qui reste des nbre premiers:
avant de commencer y a une petite propriété que je vais demontrer avant d'utiliser (car je ne suis pas sur que ce soit un théorème):
ce que je vais demontrer c'est le suivant: pour tout entiers a,b et pour tout n on a (a+b)nan["b"]
en effet en utilisant le binôme de Newton on obtient (a+b)n= k=0-->n Cnkakbn-k = b.k=0-->n-1 Cn-1kakbn-k-1 + an an ["b"] d'ou (a+b)n an["b]

-/ p=2 : on remarque facilement qu'il y a 4 termes paires et 4 termes impaires leur somme donnera toujours un nbre paire donc tous les termes de Un sont paire donc ne sont pas premiers avec 2.

-/ p=3: on a 3n, 6n, 12n et 1806n sont tous des multiples de 3 donc Un 4n + 7n + 43n - 1 [3]
(selon la propriété si dessus) 4n=(1+3)n 1 [3]
7n = (6+1)n 1 [6] 1 [3]
43n = (42+1)n 1 [42] 1 [3]
d'ou Un 3-1 [3] 2 [3] ==> 3 ne divise aucun terme de Un donc 3 est premier avec tous les termes de Un.

-/ p=7: on sait que  7n et 1806n sont des multiples de 7 donc Un 3n + 4n + 6n + 12n + 43n-1 [7]
4n = (7-3)n (-3)n [7]
6n = (7-1)n (-1)n [7]
12n = (14-2)n (-2)n [14] (-2)n [7]
43n = (42+1)n 1 [42] 1 [7]
D'ou Un (3)n + (-3)n + (-1)n + (-2)n [7]

on a :
*/ (3)1 3[7]
*/ (3)2 2[7]
*/ (3)3 6[7]
*/ (3)4 4[7]
*/ (3)5 5[7]
*/ (3)6 1[7]
*/ (3)7 3[7]
ce qui nous permettra de déduire que :
*/ (3)6n+1 3[7]
*/ (3)6n+2 2[7]
*/ (3)6n+3 6[7]
*/ (3)6n+4 4[7]
*/ (3)6n+5 5[7]
*/ (3)6n+6 1[7]
(on peut demontrer ceci par récurrence n...)

de même:
*/ (-3)6n+1 4[7]
*/ (-3)6n+2 2[7]
*/ (-3)6n+3 1[7]
*/ (-3)6n+4 4[7]
*/ (-3)6n+5 2[7]
*/ (-3)6n+6 1[7]



*/ (-2)6n+1 5[7]
*/ (-2)6n+2 4[7]
*/ (-2)6n+3 6[7]
*/ (-2)6n+4 2[7]
*/ (-2)6n+5 3[7]
*/ (-2)6n+6 1[7]



*/ (-1)6n+1 6[7]
*/ (-1)6n+2 1[7]
*/ (-1)6n+3 6[7]
*/ (-1)6n+4 1[7]
*/ (-1)6n+5 6[7]
*/ (-1)6n+6 1[7]


D'où:
n
*/U6n+1 3+4+5+6 [7] 4 [7]
*/U6n+2 2+2+4+1 [7] 2 [7]
*/U6n+3 6+1+6+6 [7] 5 [7]
*/U6n+4 4+4+2+1 [7] 4 [7]
*/U6n+5 5+2+3+6 [7] 2 [7]
*/U6n+6 1+1+1+1 [7] 4 [7]


d'ou n Un0[7]
==> 7 est premier avec tous les termes de Un.


-/p=43: en essayant de procéder comme le cas de p=7 (c'est pas très intelligent je sais mais je vois pas comment procéder autrement) en arrivant au 9ème terme je trouve U90[43] donc 43 n'est pas premier avec tous les termes de Un.

voilà en espérant que je me trompe pas quelque part, la forme générale des entiers qui sont premiers avec tous les termes de Un est:

Citation :
(-1)n x 3p x 7qavec p et q et n {0,1}


merci pour l'énigme .

Posté par
piepalm
re : ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite*** 28-03-08 à 23:00

gagné1806=2*3*7*43, et l'on remarque que 1/3+1/4+1/6+1/7+1/12+1/43+1/1806=1.
D'une façon plus générale, si les ai sont des entiers tels que ∑1/ai=1, et si p>2 premier ne divise aucun des ai , ai^(p-1)-1 est multiple de p, donc ai^(p-2)-1/ai=pbi/ai et
∑ai^(p-2) -1=p ∑bi/ai, qui est un entier multiple de p : Les seuls nombres premiers qui peuvent être premiers avec tous les termes de la suite sont donc 2, et les diviseurs des ai.
Revenons au cas présent : il est facile de voir que un est divisible par 2, et, puisque 3n=6n=12n=1806n=0 (mod3) et 4n=7n=43n=1 (mod 3), qu'un n'est jamais divisible par 3. C'est un peu plus long pour voir qu'un n'est jamais divisible par 7 (il suffit de calculer les puissances de chacun des nombres modulo 7), mais que u9 est divisible par 43 . En résumé, les nombres qui sont premiers avec tous les termes de la suite sont composés à partir des facteurs premiers 3 et 7, donc de la forme 3^a*7^b

Posté par
gui_tou
re : ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite*** 29-03-08 à 14:43

perduSalut monrow

Les entiers premiers avec tous les termes de cette suite sont \rm\large\red\fbox{les entiers naturels impairs non multiples de 5.

Justif : pour tout n dans N, Un est un entier pair, donc les entiers répondant au problème sont nécessairement impairs.

Quant à justifier pourquoi ils ne doivent pas être multiples de 5 ... je ne vois pas

Mais bon, j'ai utilisé maple pour la conjecture, honte à moi

Posté par
Labo
Les premiers avec cette suite*** 30-03-08 à 10:34

perdu3^n, 6^n , 12^n et 1806^n=(3*602)^n sont divisibles par 3
4^n ; 7^n  et 43^n sont tous congrus à 1 ,modulo 3 pour tout n
comme 3*1=3 on a (4^n+7^n+43^n) est divisible par 3
et Un2 [3]
des entiers, premiers avec tous les termes de Un, ont pour forme 3k avec k*

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite*** 03-04-08 à 18:23

ENIGME CLOTUREE

Bon, une énigme que personne n'a aimé

C'est vrai, elle méritait 4 étoiles ! mais bon

Merci pour votre participations !

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite*** 03-04-08 à 18:26

ET VOILA !



UN GRAND GRAND BRAVO A \Large\rm\red ROGERD! QUI MERITE VRAIMENT SON SMILEY !

J'attends encore plein de smileys de sa part

Posté par
infophile
re : ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite*** 03-04-08 à 18:28

Toutes mes félicitations rogerd tu le mérites amplement ce

Posté par
gui_tou
re : ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite*** 03-04-08 à 18:34

perduSaloute

Monrow, je crois que tu t'es trompé : tu m'as donné un ...

Bravo rogerd > Félicitations rogerd !!

Posté par
master_och
re : ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite*** 04-04-08 à 00:20

gagnéToutes mes félicitations Rogerd !!

Posté par
veleda
re : ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite*** 04-04-08 à 07:35

bravo Rogerd

Posté par
rogerd
Les premiers avec cette suite 04-04-08 à 14:15

gagnéMerci à tous!
Avec les absences de certains et les étourderies commises par d'autres, j'ai eu quand même pas mal de chance!

Merci encore à Minkus, Jamo et Monrow qui nous avait concocté, pour ce mois de mars, toutes ces énigmes, variées et toutes intéressantes.

J'ai l'impression que, pour le mois d'avril, c'est reparti sur les chapeaux de roues!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite*** 04-04-08 à 14:18

Bonjour

rogerd>Bravo!

Guillaume>Ce n'était peut-être qu'un poisson d'avril!

Posté par
simon92
re : ENIGMA 19: Les premiers avec cette suite*** 04-04-08 à 16:58

juste une question, je te demande pas la source de cette énigme parce qu'après tu pourras plus utiliser cette source, mais tu l'a quand même pas inventer, parce qu'elle semble méchante vu ce qu'on dit certains...

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 87:10:17.
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