On choisit x=k ⁿ⁺¹ et y=k ⁿ,
On adonc : x ^n-1+yⁿ=(1+k)k ^{n^2-1}.
Cette expression sera une puissance de (n+1) ssi k+1 est une puissance de n+1 , donc si il existe q entier tel que k+1=q ⁿ⁺¹.
Donc x=(q ⁿ⁺¹-1)ⁿ⁺¹, y=(q ⁿ⁺¹-1)ⁿ et z=q(q ⁿ⁺¹-1)^n-1 sont solutions.

Pour n= 2008, on prend q=2 par exemple.
On trouve :
x=(2 ²⁰⁰⁹-1)²⁰⁰⁹, y=(2²⁰⁰⁹-1)²⁰⁰⁸ et z=2(2 ²⁰⁰⁹-1)²⁰⁰⁷

Les solutions sont sur le net :

Question1 :  oui avec  
x =(2ⁿ⁺¹-1)ⁿ⁺¹
y =(2ⁿ⁺¹-1)ⁿ
z= 2(2ⁿ⁺¹-1)^n-1

Question 2 :
x = 2^2016032
y = 2^2015028
z = 2^2014025

Démo ci-dessous.
A+
Torio

Et pourquoi on cherche sur le net ?

Bon je clôture l'énigme ...

Question 1 : La réponse est oui !

Sans trouver TOUTES les solutions, j'en propose une !

Je cherche x et y puissances de 2 !

Je pose donc et et je vais m'arranger pour que soit égal à . Donc il faut que :







D'où k(n-1)=ln

n et n-1 étant premiers entre eux, leurs multiples communs sont de la forme pn(n-1). Il suffit de (il faut, en fait !) choisir k=pn et l=p(n-1) pour une valeur de p quelconque.

Ainsi, si et on aura d'une part et , d'autre part et

Par conséquent

Pour que il faut que z soit une puissance de 2, disons et que , c'est à dire soit égal à , donc que l(n+1)=pn(n-1)+1.

Or n(n-1)=n²-n=(n+1)(n-2)+2

Si n est impair le pgcd de (n+1) et de n(n-1) est 2 et l'équation l(n+1)=pn(n-1)+1 n'a pas de solution en nombres entiers. Par contre, si n est pair (n=2q)  l'équation l(n+1)=pn(n-1)+1 a une infinité de solutions. On trouve (en particulier) l₀=2q²-2q+1 et p₀=q, l'ensemble des solutions en nombres entiers étant : l=l₀+rn(n-1) et p=p₀-r(n+1), mais on se contentera de l₀ et p₀.

Dans ces conditions,   (avec ), une solution parmi une infinité. Mais rien ne dit qu'il n'existe pas d'autres solutions ! (Enfin, plutôt, je n'ai rien prouvé de tel !)

Question 2 :

Si n=2008, c'est le cas favorable puisque n est pair.

q=n/2=1004











Donc si l'on pose on a bien Une solution parmi une infinité. Mais il y en a peut-être d'autres !

C'est bien décourageant ! A quoi ça sert de chercher sur le Net !

Au moins, moi, je propose une justification complète de la démarche de recherche !

Bonjour,

je réponds, bien que le challenge soit terminé. Je n'ai pas trouvé la deuxième partie de l'énigme.

Mais je peux dire pour la question numéro 1, que si je prends n= 2

j'obtiens x + y^2 = z^3  dans ce cas, il y a une infinité de solutions puisqu'il est toujours possible d'associer un nombre entier x à un carré de y pour obtenir un cube de z

Exemple: z= 12 z^3= 1728
         y= 11 y^2= 1331
il vient x= 397

bien à vous

Bonjour,

pourquoi avoir clôturé l'énigme aussi vite ?

Parce que la solution est sur le net ?

Dans ce cas, il n'est pas possible de proposer la moindre énigme, car on les trouve toutes sur le net, ou dans un livre, etc ...

jamo>> Non, bien sur que ce n'est pas la raison ... Mais j'ai cloturé car y a quelqu'un qui avoue avoir pris la solution du net, donc il y aura plus égalité ...

Tu te contredis

Je te demande si c'est parce que la solution est sur le net ... tu réponds non ... pour dire parce que c'est parce que la solution est sur le net ...

Mais bon, là n'est pas le problème.

La quasi totalité des énigmes que je pose sont très classiques, et on peut les trouver, ainsi que leurs solutions, sur le net ou dans des bouquins.
Malheureusement, on ne peut pas empêcher ça.
Donc, on ne peut plus poser d'énigmes ...

C'est pour ça qu'en général, je détourne un peu les énigmes, je modifie les conditions, je les inclus dans une petite histoire afin qu'on ne puisse pas la trouver.

Car inventer une énigme originale et jamais posée, c'est très difficile ... mais ça m'arrive de temps en temps quand même.

le problème ne vient pas du fait que les solutions sont disponible sur d'autres sites.
c'est plus une histoire de fairplayr et de principe. quit à participer à la resolution d'une enigne autant le faire soit-même.
Le but n'etant pas d'être le 1er à trouver la solution (même si ca fait plaisir ^^), mais de parvenir à la resoudre par ses propres moyens !

Ce qui me derange dans cette histoire c'est que des gens ne jouent pas le jeu (--') et en soient fiers!
=> la section enigne n'a alors plus aucun interêts (si une reponse obtenu en 2clics est validé), tout comme il n'y a aucun merite à completer une grille de mot croisé si on s'aide de la solution toutes les 2sec --'

je pense que c'est ce que voulait dire monrow (si ce n'est pas le cas, desolé --').

c'est sûr qu'on ne pas contrôler les participants, neanmois on peut essayer de se faire confiance !