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ENIGMA 25: Compétition pour "Wiles d'ilemaths" ! [Annulée]

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
06-06-09 à 14:18

Bonjour tout le monde

Voilà je suis de retour ! Je pense que vous êtes bien occupés avec Jamo^^ (Vous ne voulez plus de moi je pense ) ..

Je suis sûr que la plupart d'entre vous connaissent le grand théorème de Fermat, à savoir: il n'y a pas d'entiers naturels non nuls x, y et z qui vérifient \Large x^n+y^n=z^n si \Large n>2.
Après plus de 300 années de recherches, Andrew Wiles a enfin arrivé à une solution en 1994.

Bien sûr je ne vous demanderai pas de le démontrer

Mais voilà à quoi je veux en arriver. On va modifier un peu l'énoncé :

1- Y a-t-il des solutions en x , y et z entiers naturels non nuls pour l'équation \Large\red\fbox{x^{n-1}+y^{n}=z^{n+1}} avec \Large n>0 ?
2- Si c'est le cas donnez les solutions de : \Large\red\fbox{x^{2007}+y^{2008}=z^{2009}}.

Le premier qui le trouvera sur ilemaths sera appelé Wiles d'ilemaths ! Êtes-vous d'accord?

Bien entendu, la démonstration est assez basique ! N'allez surtout pas chercher à comprendre la démo du théorème de Fermat-Wiles

A NOTER !:

(*) Une démonstration rigoureuse est obligatoire pour obtenir son smiley ! Dans cette énigme, même des programmes informatiques ne sont pas autorisés, sinon beacoup seront les premiers à trouver ...

(**) 2 questions = 2 réponses  ...


Pour les plus forts: (Si vous n'y répondez pas, vous ne serez pas sanctionnés !)
Peut-on trouver des solutions en x , y et z entiers naturels non nuls pour l'équation \Large\blue\fbox{x^{p}+y^{q}=z^{r}} avec p , q et r des entiers?


Bonne recherche ! ENIGMA 25: Compétition pour  Wiles d\'ilemaths  ! [Annulée]

Posté par
Nofutur2
re : ENIGMA 25: Compétition pour "Wiles d'ilemaths" ! 06-06-09 à 18:46

On choisit x=k n+1 et y=k n,
On adonc : x n-1+yn=(1+k)k n^2-1.
Cette expression sera une puissance de (n+1) ssi k+1 est une puissance de n+1 , donc si il existe q entier tel que k+1=q n+1.
Donc x=(q n+1-1)n+1, y=(q n+1-1)n et z=q(q n+1-1)n-1 sont solutions.

Pour n= 2008, on prend q=2 par exemple.
On trouve :
x=(2 2009-1)2009, y=(22009-1)2008 et z=2(2 2009-1)2007

Posté par
torio
re : ENIGMA 25: Compétition pour "Wiles d'ilemaths" ! 08-06-09 à 10:05

Les solutions sont sur le net :

Question1 :  oui avec  
x =(2n+1-1)n+1
y =(2n+1-1)n
z= 2(2n+1-1)n-1

Question 2 :
x = 22016032
y = 22015028
z = 22014025

Démo ci-dessous.
A+
Torio

ENIGMA 25: Compétition pour  Wiles d\'ilemaths  !

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : ENIGMA 25: Compétition pour "Wiles d'ilemaths" ! 08-06-09 à 11:46

Et pourquoi on cherche sur le net ?

Bon je clôture l'énigme ...

Posté par
pythamede
re : ENIGMA 25: Compétition pour "Wiles d'ilemaths" ! 08-06-09 à 12:18

Question 1 : La réponse est oui !

Sans trouver TOUTES les solutions, j'en propose une !

Je cherche x et y puissances de 2 !

Je pose donc x=2^k et y=2^l et je vais m'arranger pour que x^{n-1} soit égal à y^n. Donc il faut que :

\Large \displaystyle x^{n-1}=y^n

\Large \displaystyle [2^k]^{n-1}=[2^l]^n

\Large \displaystyle 2^{k(n-1)}=2^{ln}

D'où k(n-1)=ln

n et n-1 étant premiers entre eux, leurs multiples communs sont de la forme pn(n-1). Il suffit de (il faut, en fait !) choisir k=pn et l=p(n-1) pour une valeur de p quelconque.

Ainsi, si x=2^{pn} et y=2^{p(n-1)} on aura x^{n-1}=[2^{pn}]^{n-1}=2^{pn(n-1)} d'une part et y^n=[2^{p(n-1)}]^n=2^{pn(n-1)}, d'autre part et \Large \displaystyle x^{n-1}=y^n

Par conséquent x^{n-1}+y^{n}=2^{pn(n-1)}+2^{pn(n-1)}=2\times 2^{pn(n-1)}=2^{pn(n-1)+1}

Pour que x^{n-1}+y^{n}=z^{n+1} il faut que z soit une puissance de 2, disons 2^l et que z^{n+1}, c'est à dire [2^{l}]^{n+1}=2^{l(n+1)} soit égal à 2^{pn(n-1)+1}, donc que l(n+1)=pn(n-1)+1.

Or n(n-1)=n²-n=(n+1)(n-2)+2

Si n est impair le pgcd de (n+1) et de n(n-1) est 2 et l'équation l(n+1)=pn(n-1)+1 n'a pas de solution en nombres entiers. Par contre, si n est pair (n=2q)  l'équation l(n+1)=pn(n-1)+1 a une infinité de solutions. On trouve (en particulier) l0=2q²-2q+1 et p0=q, l'ensemble des solutions en nombres entiers étant : l=l0+rn(n-1) et p=p0-r(n+1), mais on se contentera de l0 et p0.

Dans ces conditions, [2^{qn}]^{n-1}+[2^{q(n-1)}]^n=[2^{2q^2-2q+1}]^{n+1}  (avec q=\frac{n}{2}), une solution parmi une infinité. Mais rien ne dit qu'il n'existe pas d'autres solutions ! (Enfin, plutôt, je n'ai rien prouvé de tel !)

Question 2 :

Si n=2008, c'est le cas favorable puisque n est pair.

q=n/2=1004

x=2^{qn}=2^{2008*1004}=2^{2016032}

y=2^{q(n-1)}=2^{2007*1004}=2^{2015028}

x^{2007}=[2^{2016032}]^{2007}=2^{2016032\times 2007}=2^{4046176224}

y^{2008}=[2^{2015028}]^{2008}=2^{2015028\times 2008}=2^{4046176224}

x^{2007}+y^{2008}=2^{4046176224}+2^{4046176224}=2\times 2^{4046176224}=2^{4046176225}=2^{2009\times 2014025}=[2^{2014025}]^{2009}

Donc si l'on pose z=2^{2014025} on a bien x^{2007}+y^{2008}=z^{2009} Une solution parmi une infinité. Mais il y en a peut-être d'autres !

Posté par
pythamede
re : ENIGMA 25: Compétition pour "Wiles d'ilemaths" ! 08-06-09 à 12:26

C'est bien décourageant ! A quoi ça sert de chercher sur le Net !

Au moins, moi, je propose une justification complète de la démarche de recherche !

Posté par
castoriginal
Enigma 25 08-06-09 à 13:14

Bonjour,

je réponds, bien que le challenge soit terminé. Je n'ai pas trouvé la deuxième partie de l'énigme.

Mais je peux dire pour la question numéro 1, que si je prends n= 2

j'obtiens x + y^2 = z^3  dans ce cas, il y a une infinité de solutions puisqu'il est toujours possible d'associer un nombre entier x à un carré de y pour obtenir un cube de z

Exemple: z= 12 z^3= 1728
         y= 11 y^2= 1331
il vient x= 397

bien à vous

Posté par
jamo Moderateur
re : ENIGMA 25: Compétition pour "Wiles d'ilemaths" ! 08-06-09 à 15:02

Bonjour,

pourquoi avoir clôturé l'énigme aussi vite ?

Parce que la solution est sur le net ?

Dans ce cas, il n'est pas possible de proposer la moindre énigme, car on les trouve toutes sur le net, ou dans un livre, etc ...

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : ENIGMA 25: Compétition pour "Wiles d'ilemaths" ! 08-06-09 à 16:28

jamo>> Non, bien sur que ce n'est pas la raison ... Mais j'ai cloturé car y a quelqu'un qui avoue avoir pris la solution du net, donc il y aura plus égalité ...

Posté par
jamo Moderateur
re : ENIGMA 25: Compétition pour "Wiles d'ilemaths" ! 08-06-09 à 18:53

Tu te contredis

Je te demande si c'est parce que la solution est sur le net ... tu réponds non ... pour dire parce que c'est parce que la solution est sur le net ...

Mais bon, là n'est pas le problème.

La quasi totalité des énigmes que je pose sont très classiques, et on peut les trouver, ainsi que leurs solutions, sur le net ou dans des bouquins.
Malheureusement, on ne peut pas empêcher ça.
Donc, on ne peut plus poser d'énigmes ...

C'est pour ça qu'en général, je détourne un peu les énigmes, je modifie les conditions, je les inclus dans une petite histoire afin qu'on ne puisse pas la trouver.

Car inventer une énigme originale et jamais posée, c'est très difficile ... mais ça m'arrive de temps en temps quand même.

Posté par
tsoubi
re : ENIGMA 25: Compétition pour "Wiles d'ilemaths" ! 02-07-09 à 15:48

le problème ne vient pas du fait que les solutions sont disponible sur d'autres sites.
c'est plus une histoire de fairplayr et de principe. quit à participer à la resolution d'une enigne autant le faire soit-même.
Le but n'etant pas d'être le 1er à trouver la solution (même si ca fait plaisir ^^), mais de parvenir à la resoudre par ses propres moyens !

Ce qui me derange dans cette histoire c'est que des gens ne jouent pas le jeu (--') et en soient fiers!
=> la section enigne n'a alors plus aucun interêts (si une reponse obtenu en 2clics est validé), tout comme il n'y a aucun merite à completer une grille de mot croisé si on s'aide de la solution toutes les 2sec --'

je pense que c'est ce que voulait dire monrow (si ce n'est pas le cas, desolé --').

c'est sûr qu'on ne pas contrôler les participants, neanmois on peut essayer de se faire confiance !

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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Temps de réponse moyen : 00:00:00.
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