Re Bonjour

J'essaie même si je ne suis pas sûre de moi.

n = 2 ; impossible
n = 3 ; impossible
n = 4 ; possible
n = 5 ; impossible
n = 6 ; possible
n = 7 ; possible
n = 8 ; possible
n = 9 ; possible
n = 10 ; possible
n = 11 ; possible
n = 12 ; possible
En continuant, il me semble qu'aprés c'est toujours possible, pourquoi ?

merci

Louisa

salut, je dirai pour tout

bonjour,
les valeurs de n sont les nombres impaires.

Bonjour

Il me semble que ce découpage est possibles si et seulement si n est un entier positif n'appartenant pas à l'ensemble {2;3;5;6;8;11;14}

MM

Salut monrow.

Etilarkov peut partager son jardin en n triangles équilatéraux pour tout n de la forme 4^p (4 puissance p), où p est un entier strictement plus grand que 1 (si p=1, on a le jardin "de base" d'Etilarkov).

@+ et merci pour l'énigme.

Pour n carré parfait. C'est à dire pour n tel que la racine carré de n est un entier.

Donc 1,4,9,16,25,36 ...

Il faut que n soit un carré !!

Bonjour,

Les valeurs possibles de n sont tous les carrés d'un nombre naturel.

Bonjour Monrow.
Il faut et il suffit que n-1 soit un multiple de 3.
Les valeurs convenant pour n sont 4, 7, 10, 13, ... (la suite arithmétique de départ 4 et de raison 3).
Le 1 est exclu, car alors il n'y a pas de découpage.

A part la valeur triviale n=1,
n=4+3k et n=6+3k
(k entier naturel)

il pourra réaliser ce découpage en 4, puis 16, puis 64,296....

Bonsoir,

on peut diviser le jardin en un certain nombre de bandes horizontales (sur le dessin bien entendu)
Si on laisse le jardin complet on a une bande et 1 parcelle.
Si on prend deux bandes on aura dans la première bande une parcelle et dans la deuxième bande trois parcelles (voir dessin) soit au total 4 parcelles. Et ainsi de suite.

On constate que chaque bande contient un nombre impair de parcelles et que l'on forme la suite des nombres impairs de 1 à n bandes. Le total des parcelles pour chaque type de division est un nombre carré.( le carré du nombre de bandes)
Les valeurs de n constituent la table des nombres carrés.

Bien à vous

Il n'est pas précisé que les triangles doivent être égaux .

La figure  1  donne des découpages pour des valeurs n = 1,4,7,10, etc...
La figure  2  donne des découpages pour des valeurs n = 1,6,9,12, etc....
La figure  3  donne des découpages pour des valeurs n = 1,8,11,14, etc...

on peut donc réaliser le partage pour toutes les valeurs de n  (entières)
sauf  n=2 n=3 n=5


(Si les triangles doivent être égaux cela restreint n aux valeurs suivantes :
1,4,16,64, ........ etc. ...)

A+
torio

Bonjour,

les deux cas évidents (partage en 4 ou 9):

permettent la généralisation.

Si n=4, c'est possible puis pour tout n de la forme n=3k+1 (k1)
par itérations successives en remplaçant un grand triangle (le rose) par un découpage en 4.

Si n=6 (cas n=9 en remplaçant un ensemble de 4 triangles par le grand rose), c'est possible
donc, de même, le partage est possible pour n de la forme n=3k (k2)

Reste la combinaison de ces deux cas, un partage initial en 4 avec un remplacement d'un grand triangle par un groupe de 6.
Ce cas donne 11 triangles équilatéraux et assure le partage pour n=3k+5 (k2), soit n=3k+2 (k3)

En combinant le tout,
n=3k (k2)
n=3k+1 (k1)
n=3k+2 (k3)
on arrive à couvrir l'ensemble des entiers naturels sauf 2,3,5 et 8. _{(Je compte le cas n=1 juste)}

Conclusion: Le partage est possible pour *\{2;3;5;8}.

Merci pour l'Enigma.

Coucou !

Je pense que n doit être un carré, j'ai failli répondre un multiple de 4 mais... je ne l'ai pas dit
Comme explication, juste un petit merci à Sierpinski

salut

vu qu'il n'est pas précisé que ces triangles étaient isométriques on peut trouver un découpage pour tout entier sauf 2,3 et 5

pour l'exemple voir la figure

bien entendu quand on prend les milieux on ajoute toujours 4 triangles  (voir ADE)

ainsi quand on obtient un découpage à n triangles on obtient toujours un découpage à n-1+4=n+3 triangles

on peut toujours découper un coté en n segments (içi [BC] coupé en 4) puis tracer la parallèle convenable (içi (DE)) et combiner avec les découpages faits pour des valeurs inférieurs à n

damned la figure:

chaque triangle peut être découpé en 4, en plaçant un triangle au milieu (chaque sommet au milieu de chaque côté du premier triangle).
Donc si le jardin est déjà découpé en N triangles, on peut le découper en N + 3.
Le premier découpage possible est 1.

donc ma réponse est N = 3n + 1 (avec n entier)

Bonjour,

Les valeurs  de N sont tous les diviseurs de la longeur du jardin de Etilarkov.

Rebonjour monrow, rebonjour à tous

On peut réaliser ce découpage pour les valeurs de n dont la division par 3 offrent un reste égal à 1.

Merci pour les énigmes.

Bien à vous.

On peut découper un triangle équilatéral en 4 triangles équilatéraux égaux. Mais on peut répéter cette opération sur chacun des triangles ainsi formés. Et ainsi de suite. Si l'on transforme tous les triangles ainsi formés, cela revient à multiplier par 4 le nombres de triangles. Dans ce cas on obtient 4 triangles, puis , puis , et ainsi de suite. Mais on n'est pas obligé de découper tous les triangles, puisque l'on n'est pas obligé d'avoir des triangles tous égaux. Dans ce cas, chaque fois que l'on découpe un triangle en quatre, cela revient à ajouter 3 triangles au total. Donc en fait les valeurs de n possibles sont les nombres 1+3k avec k entier quelconque (k=0 revient à ne rien faire, bien sûr !).

n = 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, etc...
n peut prendre les valeurs de 3 en 3 qui commence par quatre et ça jusqu'a plus l'infinie.

Bonjour,

n doit être un carré parfait  

bonjour

n = 4 ^ m
avec m appartient aux entiers naturels.

Un triangle équilatéral se découpe en un minimum de trois triangles équilatéraux égaux.
Bien entendu, chacun de ses nouveaux triangles peuvent être redécoupés en 4.

A chaque découpage d'un triangle en sous-triangles, on ajoute 3 triangles à la figure générale.

Comme on part d'un triangle, je dirais qu'il est possible de découper le jardin en : pour tout entier (même nul).

Bonjour,

au risque de tomber dans le piège... _{(qui se sent à plein nez )}
je réponds : pour tout n tel qu'il existe m tel que n=m²
En gros, pour tous les carrés de nombres entiers (1 4 9 16 25 ...)


Merci pour l'énigme

La première idée qui vient sur le banc est de découper en 4 triangles avec le milieu de chaque coté puis de recommencer on va donc créer toutes les puissances de 4 (4 16 64 256 etc.)

Puis on voit que cela marche pour 2 points séparant les cotés en 3 donc 9 triangles .avec la possibilité précédente de diviser en 2 auxquelles s'ajoute celle de diviser en 3 donc :

on obtient les puissances de 9 puis 9  fois les puissances de 4 .....
On commence à voir que le nombre de solutions est sans limite puisque on peut appliquer à chaque nouveau triangle  les solutions déjà trouvées en les panachant .

Si l'on suppose les triangles équilatéraux tous de même taille, alors N doit être un carré parfait : N = n²

Soit n la taille d'un coté du champ
en rangeant les triangles tête bèche, on arrive à en mettre 2*n-1 sur la base du triangle.
la ligne du dessus, il y en aura 2*n-3 (même processus, mais maintenant le coté ne fait plus que n-1)
et ainsi de suite on trouve qu'il faut calculer la somme : (2*k-1) k=1..n
qui n'est autre que la somme des nombres impaires.
Donc je dirai que pour un champs de coté, il peut placer au maximum n² mini champ de
même forme dont le coté est unitaire...
voila

Bonjour,

Je propose un nombre n = 3k+1 avec k entier naturel.

Rudy

La réponse a cette enigme est n = 2 , 3 , 5 ou 7 car on ne précise pas dans l'enoncé que les n triangles sont isomorphes.

Si il le sont alors le probleme se reume a la somme des nombres impairs ces a dire aux entiers au carré.

En resumé si les triangles sont identiques alors n=1,4,9,16,25...etc
         sinon n= privé de 2,3,5 et 7

Il y a une infinité de solution de la forme :
n = 4 + 3k avec k0
n = 6 + 3k avec k0

Bonjour,

n peut prendre toute les valeurs de la forme:
k, n = 3k+1
et k 3, n = 3k

Merci pour l'ENIGMA !

k, bien sûr !

Bonjour !

Voici ma réponse :

On peut réaliser ce découpage pour des valeurs de n de la forme n = 4^k avec k .

Merci.

Bonjour!

Pour n = 1
n = 4
et n 6

Merci

Salut monrow,
je propose n=3k+1 avec k^*

Salut,

Il y a une infinité de possibilités car il y a une infinité de nombres.

D'abord je vais prouver que l'aire d'un triangle équilatéral de côté a a une aire quatre fois plus petite que l'aire d'un triangle équilatéral de côté 2a. La base est deux fois plus grande. En ce qui concerne la hauteur, elle est calculable dans un triangle équilatérale grâce à la constante : (déduite grâce à la trigonométrie). Ici les hauteurs sont donc de et de .

Ce qui donne dans le calcul d'aire :


Et :


Donc le triangle équilatéral de côté a a une aire quatre fois plus petite que le triangle équilatéral de côté 2a.
Sachant que 4 = 2², et que l'aire s'exprime en u², on admet la propriété.

Il y a donc une infinié de possibilités, tant que n = k², avec k un entier. (pas très explicite à mon goût...)

Merci pour l'énigme

Et merci pour le poisson

Bonjour Monrow,

Je pense que n doit être un carré parfait pour que cela soit possible

Bonsoir,
valeurs pour n:
4
16
64
256
...
(En general: 4 puissance k, k >=1)

bonsoir monrow,
je n'avais pas encore répondu car j'ai un doute :les n triangles doivent-ils être égaux?le texte ne le précise pas

*si les n triangles sont égaux de côté x_n et si a est le côté du jardin on doit avoir a=kx_n avec k entier et l'égalité des aires permet d'écrire
si n est le carré d'un entier on peut découper le jardin en n triangles équilatéraux égauxla plus petite valeur de n est donc 4

*si les triangles ne sont pas nécessairement égaux il y a d'autres valeurs possibles
par exemple à partir d'un découpage en 4 triangles égaux on peut redécouper l'un deux en 4 ce qui donnera un découpage en 7
triangles équilatéraux...mais je ne vois pas dans ce cas comment exprimer toutes les valeurs possibles pour n
merci pour ce problème que je ne suis pas sure d'avoir résolu

Il s'agit de la somme de deux nombres triangulaires consécutifs (un nombre triangulaire est de la forme : n(n+1)/2) (avec n0)
c'est à dire un carré.
En effet n(n+1)/2 + (n+1)(n+2)/2 (deux nombres triangulaires consécutifs) = (n+1)(2n+2)/2 = (n+1)²
Il s'agit donc des carrés à partir de 1 (puisque n0 alors n+11)

1;4;9;16;25;............

Bonjour,
Le découpage est possible pour n multiple de 4. N'est-ce pas? :p

Bonjour
On peut remplacer un triangle équilatéral par 4 triangles.

Donc si T est une solution, alors T-1+4=T+3 aussi : suite arithmétique

Ces nombres sont de la forme 3p+1

En espérant que Etilarkov ne cherche à compter que les "petits" triangles qui décomposent son jardin initial (partition), et dans une configuration comme celle ci-dessous, il compte bien 4 triangles et pas 5.

Salut monrow,
on peut découper le jardin en n triangles équilatéraux,  pour n de la forme p², pour tout p entiers naturels non nul.

on peut voir ça comme la somme des p premiers nombres impaires: 1 trangle au sommet, 3 en dessous, 5 encore en dessous,..., 2p-1 a la base.
et on a: 1+3+5+ ...¨+2p-1= p²

voila...

Bonsoir et merci pour l'énigme,

le nombre n de triangles issus de la division en triangles équilatéraux du jardin est un carré sauf si ces triangles ne sont pas nécessairement réguliers. J'espère juste que ce deuxième cas n'est pas pris en compte parce que j'ai le cerveau en bouillie à cette heure là.
Je peux aller dormir maintenant.

Bonne nuitgdytryrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr...geuh!?
Neddynounet

Bonjour, Bon, moi j'ai envie d'essayer:
n=4+3k avec k entier naturel! (3k appartient donc à N, donc 4+3k aussi donc finalement, n appartient à N)

Bonjour ,
je ne suis pas sur mais je pense que l'on peut découper un triangle équilatéral en n triangles équilatéraux seulement quand n est un carré parfait.

ENIGME CLOTUREE

C'est une vraie poissonnerie ici !



Non mais qui a dit que les triangles doivent êtres égaux?

La réponse était tout entier sauf 2, 3 et 5 ...