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ENIGMA 5: Le ressort volant***

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 24-07-07 à 20:37

Bonjour tout le monde,

je vais faire un petit essai.. Pourquoi ne pas essayer aussi ce genre d'énigmes?

A vous

Etilarkov est en train de faire des petites expériences et études sur le système masse-ressort...

Il a pris un ressort de raideur K et de masse négligée où il a fixé deux corps (S) et (S') de masses m et m'. (voir la figure ci dessous)

On considère 3$M_0 la position du corps (S) en équilibre comme origine du repère 3$(O,\vec{i\quad}).

On comprime (S) vers le bas d'une distance 3$x_m et on libère le système sans vitesse initiale.

1) Quelle condition doit réaliser 3$x_m  pour que (S') quitte le sol?

2) Déterminer l'expression de l'abscisse 3$x_1 de (S) à l'instant 3$t_1 où (S') quitte le sol en fonction de données convenables.

ENIGMA 5: Le ressort volant

Bonne recherche

Posté par
Nofutur2re : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 24-07-07 à 23:34

perduSoit F1 la force du ressort sur S' :
F1=K(x-x'-l0)
Soit F2 la force du ressort sur S :
F2=-K(x-x'-l0).
On obtient en écrivant que la force en S' est dirigée vers le haut.
m'g<K(x-0-l0)
donc x1= (m'g/K)+l0(réponse à la question 2)

On écrit le PFD en S:
mx°°=-mg-K(x-l0).
la solution est de la forme :
x=Acos(wt+p)+(l0-g/w2)avec w2=K/m.
On a x°(0)=0=-Awsin(p)donc p=0 ou p=
On a x(0)=le-xm=Acosp+l0-g/w2).
Or le=l0-g/w2
donc Acosp=-xm. On a p=0 et A=-xm<0.
x=-xmcos(wt)+(l0-g/w2)
(équation du mouvement de S avant que S' quitte le sol).

Pour que S'quitte le sol il faut que x max>x1.
xm+l0-g/w2)>m'g/K + l0.
xm-mg/K)>m'g/k .
xm>(m+m')g/K.(réponse à la question 1)

Posté par
piepalmre : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 25-07-07 à 07:14

gagnéEn l'absence de décollage, le ressort comprimé de xm (vers le bas) va osciller jusqu'à une même distance xm vers le haut; si g est l'accélération de la pesanteur, la tension du ressort est égale à -m*g pour x=0, donc k*x-m*g pour x quelconque, et il y aura décollage si k*xm-m*g>=m'*g soit xm>=(m+m')*g/k. Au moment du décollage, S aura atteint l'abscisse x1=(m+m')*g/k

Posté par
master_ochre : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 26-07-07 à 22:24

gagnébonsoir

1)la condition est: xm>||g||.(m+m')/k (g étant le vecteur champ de pesanteur)

2)x1 = ||g||.(m+m')/k

3 étoiles me paraissent un peu trop exagérés pour cette énigme, à moin que j'ai pas vu son vrai astuce.

merci pour l'énigme .

Posté par
infophilere : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 27-07-07 à 19:19

gagnéBonjour

3$ \rm \fbox{1) Condition pour que (S') quitte le sol : x_m>\frac{(m+m')g}{K}\\2) Abscisse de (S) lorsque (S') quitte le sol : x_1=\frac{(m+m')g}{K}}

Merci pour l'énigme très intéressante !

Posté par
freniclere : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 27-07-07 à 21:23

gagnéBonjour Monrow,

A l'équilibre, la tension du ressort en S est égale et opposée au poids mg de S.
L'ensemble décolle dès que la tension du ressort en S devient égale à - m'g, (la tension du ressort en S' est alors égale à + m'g) ce qui se produit lorsque S atteint l'abscisse + g(m' + m)/K (puisque jusqu'à l'abscisse + gm/K, le ressort est comprimé, sa tension en S est positive.)
Pour qu'il atteigne cette abscisse, il est nécessaire de le comprimer jusqu'à ce qu'il atteigne l'abscisse opposée. Donc xm = -g(m + m')/K  et x1 = + g(m + m')/K.

Cordialement
Frenicle

Posté par Tibas (invité)re : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 30-07-07 à 12:02

perdu1°/
il faut que xm soit au moins superieur au tiers de la distance mO afin de puissance P produite lorsqu'on libere le systeme soit suffisante pour que s' quitte le sol:

Demonstrtaion:
théorèmeb de ...(trou de mémoire!)
pour qu'un corps extensible non fixé de base S et l'extrémité s' se sépare de son postulat grace a une préssion excercée sur s', il faut que cette préssion p soit au moins superieur au tier de la distance s-s'.

Posté par
lyonnaisre : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 31-07-07 à 09:48

gagnéSalut monrow

Ah un petit peu de physique, ça doit faire plaisir à J_P

Dans la suite j'appelerai A la masse m' et B la masse m

Citation :
1°) Quelle condition doit réaliser xm pour que (S') quitte le sol ?


1ère étape : On considère le système  \Large{\rm \fbox{\{S\}}

Bilan des actions mécaniques :

Tension du ressort :  \Large{\rm \fbox{\vec{F} = -k.(l-l_0) \vec{e_x} = -k(l-l_{eq})-k(l_{eq}-l_0) \vec{e_x}

Poids de S :  \Large{\rm \fbox{\vec{P} = -mg \vec{e_x}

Or à l'équilibre, l'accélération de (S) est nulle, donc :

\Large{\rm \vec{0} = \vec{F_{eq}} + \vec{P}   \Large{\Leftrightarrow}    \Large{\rm \red \fbox{k(l_{eq}-l_0)+mg=0}  (*)

Ainsi l'équation du mouvement est donc :

\Large{\rm m\vec{a_B} = \vec{F} + \vec{P}   \Large{\Leftrightarrow}     \Large{\rm \blue\fbox{\frac{d^2x_B}{dt^2} + \frac{k}{m}.x_B = 0}

Ainsi en posant   \Large{\rm \green \fbox{w=\sqrt{\frac{k}{m}}}

4$ \{x_B(t) = A.cos(wt)+Bsin(wt)\\x_B(0) = -x_m\\v_B(0)=0    \Large{\Leftrightarrow}    \Large{\rm \red \fbox{x_B(t) = -x_m.cos(wt)}  (**)

Ainsi par (*) et (**) :  \Large{\rm \fbox{\vec{F} = -k.x_B-k(l_{eq}-l_0) \vec{e_x} = k.x_m.cos(wt)+mg \vec{e_x}}  

Et donc :  \Large{\rm \red \fbox{\vec{F_{max}} = k.x_m+mg \vec{e_x}}

2ème étape : On considère le système  \Large{\rm \fbox{\{S'\}}

Bilan des actions mécaniques :

Tension du ressort :  \Large{\rm \fbox{\vec{T}=-\vec{F} = -k.x_m.cos(wt)-mg \vec{e_x}

\Large{\rm \red \fbox{\vec{T_{max}} = k.x_m-mg \vec{e_x}}

Poids de S' :  \Large{\rm \fbox{\vec{P'} = -m'g \vec{e_x}

Réaction possible du sol \vec{R}

Pour trouver la condition, on se place dans le cas ou \vec{R}=\vec{0}

On a alors la CNS suivante. Il faut que la tension du ressort soit plus grande que le poids de (S') pour t > t1 où t1 est le temps pour lequel la réaction du sol s'annule. Ainsi :

\Large{\rm T+P'\ge 0}     \Large{\Rightarrow    \Large{\rm T_{max}+P'\ge 0}    \Large{\Leftrightarrow}   \Large{6$\magenta \rm \fbox{x_m \ge \frac{(m+m').g}{k}}}

Citation :
2°) Déterminer l'expression de l'abscisse x1 de (S) à l'instant t1 où (S') quitte le sol en fonction de données convenables.


On se place ici dans le cas d'égalité de la situation précédente. On a donc :

\Large{\rm T+P'= 0}    \Large{\Leftrightarrow}   \Large{\rm -k.x_m.cos(wt_1)-(m+m')g=0   

Or d'après (**) :

\Large{\rm \fbox{x_B(t_1) = -x_m.cos(wt_1)}   ainsi :

\Large{\rm k.x_B(t_1)-(m+m')g=0

\Large{6$\magenta \rm \fbox{x_1 = x_B(t_1) = \frac{(m+m').g}{k}}}

Conclusion. Ma réponse est :

1°) \Large{6$\magenta \rm \fbox{x_m \ge \frac{(m+m').g}{k}}}

2°) \Large{6$\magenta \rm \fbox{x_1 = x_B(t_1) = \frac{(m+m').g}{k}}}

Merci pour l'énigme

Romain

Posté par
gloubire : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 31-07-07 à 13:24

gagnéBonjour,

1) Pour que (S') quitte le sol, il faut et il suffit que

  le xm > (m+m').g/k, avec  k = mg/(l0-le), où g est l' attraction de la pesanteur.

   le xm > (1+m'/m).(lo-le)


2) L'abscisse x1 de (S) à l'instant où (S') quitte le sol est:

  x1 = (1+m'/m).(lo-le)


A+,
gloubi

Posté par
gloubire : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 31-07-07 à 16:03

gagnéRe,

Bien sûr, j'oubliais:    (( ))

Pour que (S') puisse quitter le sol, il faut que

  le > (lo-le).(m+m')/m

   le/(lo-le)  > (m+m')/m

   m'/m < le/(lo-le)-1

   m'/m < (2.le-lo)/(lo-le)

A+,
gloubi

Posté par
Ju007re : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 08-08-07 à 18:59

gagné Bond-jour!


Commençons par appliquer le théorème de la résultante cinétique sur (S) :
\large{m\ddot{x} = -K (x + l_e - l_0) - mg}
(l'allongement du ressort est bien x + l_e - l_0)

or on a à l'équilibre x=0
d'où \large{-K(l_e - l_0) = mg}

d'où l'équation différentielle (E) vérifiée par (S)
\Large{\clubsuit\fbox{\color{blue}{\ddot{x} + \frac{K}{m} x = 0}} \clubsuit
Je découvre les couleurs .

On résoud cettte équation différentielle on trouve
\Large{\spadesuit\fbox{\color{grey}{x(t) = -x_m \cos(\sqrt{ \frac{K}{m}} t)}} \spadesuit


Maintenant passons au deuxième système (S'):
\large{ m\ddot{x'} = K (x + l_e - l_0) - m'g + R} où R est la réaction de support de la table ;
soit \large{K x - (m+m')g + R = m\ddot{x'}}

or à l'origine (S') est au repos,

d'où  \large{R = (m+m')g - K x}

De plus on cherche quelle sera l'abscisse x quand (S') décollera, c'est-à-dire quand \large{R = 0}

On a donc \Large{\color{red}{\clubsuit \fbox{ x_1 = \frac{(m+m')g}{K}} \clubsuit }} (réponse au 2. bizarre l'ordre des questions)

Donc pour que (S') décolle il faut qu'il existe t_1 tel que
\large{x(t_1)=x_1},
ce qui est vérifié lorsque
\Large{\color{green}{\spadesuit \fbox{x_m \geq x_1 = \frac{(m+m')g}{K}} \spadesuit}.

Ainsi (je sais pas si c'est demandé) \fbox{\Large{ t_1 = \sqrt{\frac{m}{K}} \arccos(-\frac{x_1}{x_m})}}

Et voilàààà....

Posté par
dhaltere : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 11-08-07 à 00:37

gagnéLe système est à l'équilibre lorsque le poids de S est compensé par la compression du ressort
(I_0-I_e)k=mg
tant que le corps S' reste au sol, l'accélération de S est donnée par la résultante de son poids et de l'élongation du ressort:
x''=-mg-(x+I_e-I_0)k
x''=-xk
en fonction des conditions initiales (t=0 \rightarrow x=-x_m\;;\;x'=0) on obtient
x=-x_m\cos(\sqrt{k}t)
Pour que S' quitte le sol, il faut que l'élongation du ressort compense le poids de S'.
Or cette élongation est au maximum x_m.
On doit avoir :
(x_m+I_e-I_0)k>m'g
x_m>\frac{m'g}{k}+I_0-I_e
La seconde masse S' quitte le sol lorsque l'élongation du ressort atteint cette valeur limite
(x_1+I_e-I_0)k=m'g
x_1=\frac{m'g}{k}+I_0-I_e

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 19-08-07 à 18:16

ENIGME CLOTUREE

Désolé d'avoir tardé pour clôturer cette énigme

Donc la bonne réponse était:

1) 5$\red\fbox{%20\fbox{x_m%20\ge%20\frac{(m+m').g}{k}}}

2) 5$\blue\fbox{%20\fbox{x_1%20=%20\frac{(m+m').g}{k}}}

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 19-08-07 à 18:18

LE GAGNANT DU MOIS EST: 5$\red KEVIN

Bravo pour le deuxième smiley

Posté par
Nofutur2re : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 19-08-07 à 19:01

perduJ'ai calculé X1 en fonction du sol en pas en fonction de la hauteur du point d'équilibre..ce qui décale mon résultat de le=l0-mg/K...
En tout cas, un grand bravo à Kevin pour sa seconde victoire..

Posté par
1 Schumi 1re : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 20-08-07 à 12:34

5$\rm\large\red\fbox{ Felicitations Kevin}.

Posté par
infophilere : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 20-08-07 à 13:50

gagnéBonjour

Merci

On peut pas donner un à piepalm aussi ? Depuis le temps il le mérite !

Joli démo romain

Ju > Je ne connaissais pas 5$ \red \spadesuit merci

Posté par
Ju007re : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 20-08-07 à 14:44

gagnéBravo Kevin!

Quelle générosité!

Pour \huge{\spadesuit}, (\spadesuit en Latex) je l'ai trouvé sur une liste de symboles sur le Net. Malheureusement le coeur et le carreau ne marchent pas! Problème interne à l'île?

Posté par
infophilere : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 20-08-07 à 14:47

gagnéMerci Ju

En fait c'est parce que le \LaTeX de l' est une version allégée.

Posté par
Ju007re : ENIGMA 5: Le ressort volant*** 20-08-07 à 14:49

gagnéOK je m'en doutais

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 143:03:00.

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