Niveau exercices

Enigmatik 3: PGCD

Posté par
Moumbo 11-02-08 à 23:57

Bonsoir,

$4$(1+\sqrt{2})^{2007}=a+b\sqrt{2}$
Quelle est le plus grand diviseur commun des entiers naturels qui obéissent à la condition suivante ?

Edit Coll : forum modifié

Posté par re : Enigmatik 3: PGCD 11-02-08 à 23:58

Ah il fallait poster dans la détente

Posté par re : Enigmatik 3: PGCD 12-02-08 à 00:08

Salut,

- commence par calculer $(1+\sqrt{2})^n$ pour des petites valeurs de n sous la forme $a+b\sqrt{2}$ .
- Que remarque tu?

@+

Posté par re : Enigmatik 3: PGCD 12-02-08 à 00:10

... puis à partir de cette conjecture, je pense que le raisonnement par récurrence devrait marcher. Si a et b sont premiers pour tout n alors à fortiori pour n=2007.

sauf erreur bien entendu

@+

Posté par re : Enigmatik 3: PGCD 12-02-08 à 00:13

hmmm... désolé je croyait que c'était pour une aide... (je n'ai même pas lu le titre)
@+

Posté par re : Enigmatik 3: PGCD 12-02-08 à 21:00

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Posté par re : Enigmatik 3: PGCD 12-02-08 à 21:00

bonjour!!

Posté par re : Enigmatik 3: PGCD 12-02-08 à 23:16

Bon je donne la correction plus détailleuse
Il est évident que $(1+\sqrt{2})^{2007}(1-\sqrt{2})^{2007}=-1$
On sait d'après la formule de Newton que
$2$(1-\sqrt{2})^{2007}=a-b\sqrt{2}$
A dire que $2$(1+\sqrt{2})^{2007}(1-\sqrt{2})^{2007}=(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})=a^2-2b^2 et a^2- 2b^2=-1$
Supposons que d est le PGCD de ces deux nombres

Alors $2$\frac{d}{a^2} et \frac{d}{b^2}$ , donc $2$\frac{d}{a^2-2b^2}=-1$

Par conséquent d doit être 1.