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Enigmatik 7:équations

Posté par
Moumbo
14-02-08 à 19:06

Bonsoir,
Trouver toutes les solutions rationnelles non négatives de cette équation:
4$x^y.y^x=y^y
Bonne chance: "Je veux des réponses"

Posté par
Moumbo
re : Enigmatik 7:équations 14-02-08 à 23:12

aucune réponse encore???

Posté par
Moumbo
re : Enigmatik 7:équations 14-02-08 à 23:38

Posté par
Moumbo
re : Enigmatik 7:équations 15-02-08 à 00:05

Toujours pas de réponses donc euh....
Je m'énerve làà

Posté par
Violoncellenoir
re : Enigmatik 7:équations 15-02-08 à 01:10

Citation :
Je m'énerve làà


Voici une solution

x = 2

y = 4

24* 42 = 44

Posté par
Violoncellenoir
re : Enigmatik 7:équations 15-02-08 à 01:16

Une autre :

x = 3

y = 6

36 * 63 = 66

Posté par
Moumbo
re : Enigmatik 7:équations 15-02-08 à 09:54

Mais je demande toutes les solutions  rationnelles

Posté par
Moumbo
re : Enigmatik 7:équations 15-02-08 à 10:20

Allez,
Montrons que les solutions sont (x,y)=(0,0) et k un nombre naturel, montrons que 2$(k^{k-1},k^k
 \\
Soit (x,y) rationnel, la solution positif. Si on définit 2$t=\frac{y}{x},
on obtient 2$x^{tx}(tx)^{tx} ou x=t^{t-1}. Démontrons que t-1=k est un entier naturel.Dans l'expression étant 2$x=(k+1)^k (m,n)=1 et (p,q)=1, si on écrit x=\frac{m}{n} et k= \frac{p}{q} on obtient
2$m^qp^q=n^q(p+q)^p
Etant donné que (m,n)=1,et que 2$n^qIp^q.(p,q)=1 ((p+q)^p,q^p)=(p+q,q)^p=(p,q)^p=1
A dire que, 2$q^pIp^q et en effet soit q^p=n^qxq>1. Décomposons qp en facteurs premiers. La puissance de chaque facteur est divisible par p et q donc divisible par pq.
A dire que si on décompose en facteurs premier le nombre q, la puissance de chaque facteur sera obligé d'être divisible par q. Etant donné que q<2q on obtient une astuce.
En conclusion on obtient q=1 et 2$x=k^{k-1}, y=k^k.(0,0) et (k^{k-1},k^k)
sont les solutions.

Je vous avais dit: "répondez".

Posté par
plumemeteore
re : Enigmatik 7:équations 15-02-08 à 11:51

bonjour Violoncellenoir
36 * 6³ = 66 est faux
il y a neuf facteurs 3 à gauche et 6 facteurs 3 à droite

Posté par
Moumbo
re : Enigmatik 7:équations 17-02-08 à 10:31

La suite je pense à donner après les épreuves communes, là je travaille



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