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Enigme de clemclem 5**

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes 10-11-04 à 16:59

Bonjour à tous,

Voilà l'énigme de clemclem tant attendu par tout les fans d'énigmes (oui je sais je suis modeste ).Elle est constitué de deux parties n'ayant aucun lien direct.

1ère partie :
Des chenilles se déplacent en ligne, les unes derrière les autres, à une vitesse qui est constante, en formant une colonne de 50 cm de long.
La dernière chenille décide d'aller voir la première chenille et pour cela rejoint la tête de la colonne puis une fois cela fait, elle retourne aussitôt à la queue de la colonne.
Sachant que pendant cet aller retour, la vitesse de la chenille est rester constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcouru par la chenille???

(on négliera le temps que met la chenille à se retourner)
Vous indiquerez le résultat exact de cette distance et vous expliquerez en quelques mots comment vous êtes arriver à ce résultat.

2ème partie:
Une fonction polynôme de la forme ax^2+bx+c(avec a,b et c qui sont des réels) admet-elle toujours un seul et unique minimun (ou maximun cela dépend)?
Si la réponse est oui, vous la démontrerez.Si la réponse est non, un contre exemple me suffira.


Bonne chance à vous.
Le smiley sera donné si les deux parties sont résolues et si les conditions énnoncées dans l'énigme sont respectées.

Posté par juliannem (invité)Pb1-Pb2 10-11-04 à 18:31

perduPb1-Ma réponse pour la distance est de 137.5 cm.
En fait , la chenille remonte la colonne (donc 50 cm) pendant que celle ci fait 50 cm , donc , en arrivant au bout , elle a fait 100cm. On peut donc conclure que la petite chenille avance 2 fois plus vite que la colonne.Donc , en faisant demi tour , la colonne , avance toujours à la même vitesse , mais la chenille avance 2 fois plus vite donc on peut ajouter les vitesses car la colonne va dans le sens inverse de celui de la chenille. Donc , pour revenir , la chenille fait 50*3/4 cm donc 37.5cm. Donc, la petite chenille a parcouru 137.5cm.

Pb2-en fait , je crois qu'il peut y avoir plusieurs minimum à une fonction polynome de la forme ax2 + bx +c, puisqu'on peut appeler minimum un minimum local donc , cela dépend de l'intervalle qu'on se fixe , donc la réponse serait non . Mais si l'intervalle est toujours r , on peut dire qu'il existe un et un seul minimum ,car à partir du moment où la fonction change de sens après ce point , il s'agit d'un extremum

Posté par
dad97 Correcteurre : Enigme de clemclem 5** 10-11-04 à 22:30

gagnéBonsoir,

1ère partie :
Je note v la vitesse de la dernière chenille et v’ la vitesse de la colonne.
Je note t le temps que la dernière chenille met pour rejoindre celle en tête de colonne.

La dernière chenille a donc parcourue pour rejoindre la tête du convoi la distance vt.
Pendant ce temps t la colonne a parcouru la distance v’t.
Mais la dernière chenille a du parcourir la même distance que la colonne et la distance représentée par la longueur de la colonne donc : vt=50+v’t

soit (v-v’)t=50 (*)

Après elle retourne voir la dernière, je note t’ le temps qu’elle met.
Comme elle va toujours à la vitesse v elle parcourt la distance vt’.
La colonne pendant ce temps a parcouru la distance v’t’.
Comme elle se déplace dans l’autre sens que celui de la colonne, elle « gagn » les v’t’ en distance sur les 50 cm de la colonne à parcourir donc : vt’=50-v’t’

(v+v’)t’=50 (**)

La colonne a parcouru 50 cm pendant le temps t+t’ donc :

(t+t’)v’=50 (***)

de (***) on déduit t^’=\frac{50-v^’t}{v^’}

En remplaçant t’ dans (**) on a donc (v+v^’)\frac{50-v^’t}{v^’}=50

Soit (v+v^’)(50-v^’t)=50v^’ i.e t=\frac{50v}{(v+v^’)v^’}

En remplaçant t dans (*) on a donc

(v-v^’)\frac{50v}{(v+v^’)v^’}=50

soit (v-v^’)50v=50(v+v^’)v^’ i.e. (v-v^’)v=(v+v^’)v’

ou encore v^2-2vv^’-v^’^2=0

soit (\frac{v}{v^’})^2-2\frac{v}{v^’}-1=0

Posons x=\frac{v}{v^’} on alors x^2-2x-1=0

Un p’tit coup de discriminant et en sachant que x est positif on en déduit que x=1+\sqrt{2}

Donc v=(1+\sqrt{2})v^’ (****)

La distance totale parcourue par la dernière chenille est v(t+t^’)
La distance totale parcourue par la colonne est v’(t+t^’)

De (****) on déduit donc que v(t+t^’)=(1+\sqrt{2})v^’ (t+t^’)

Or v’(t+t^’)=50 donc la distance parcourue par la dernière chenille est de 4$50(1+\sqrt{2})

2ème partie :
Bien non puisque a peut être nul si bien que l'on peut se retrouver avec une droite (e.g. d'équation y=x ) qui n'admet ni de maximum ni de minimum.

Salut

Posté par
Tom_Pascal Webmasterhum dommage... 10-11-04 à 22:39

Le site depuis lequel tu appelles les images protège celles-ci par un mécanisme de sécurité ...

Enfin, ce n'est pas trop grave, ce n'était que des illustrations pas indispensables à la compréhension de ta réponse par clemclem

Posté par pinotte (invité)re : Enigme de clemclem 5** 10-11-04 à 22:44

perdu1ère partie

J'ai nommé
V1: vitesse de la colonne de chenilles (cm/s)
V2: vitesse de la chenille (cm/s)
t1: temps de la chenille pour effectuer l'aller (s)
t2: temps de la chenille pour effectuer le retour (s)
d1: distance parcourue à l'aller (cm)
d2: distance parcourue au retour (cm)

d1 = V2t1 = v1t1 + 50
d2 = V2t2 = 50 - v1t2

On trouve que:
t1 = \frac{50}{V_2-V_1} et t2 = \frac{50}{V_2+V_1}

Ainsi, \frac{50V_1}{V_2-V_1} + \frac{50V_1}{V_2+V_1} = 50

Soit X = \frac{V_2}{V_1}. On a alors X^2-2X-1 = 0. Les solutions sont X = 1\pm\sqrt{2}. On rejette la solution X = (1 - \sqrt{2}), qui est négative.

On trouve que V_2 = (1 + \sqrt{2})V_1

Ainsi, la distance parcourue par la chenille est égale à D = 50(1+\sqrt{2})cm.

2e partie

La fonction polynomiale de degré 2 admet un seul extremum, défini par k = \frac{4ac-b^2}{4a}.

Cela est équivalent à k = c - \frac{b^2}{4a}. La soustraction de deux nombres ne donne qu'une seule et unique solution. Ainsi, on ne trouve qu'un seul extremum. Si a>0, il s'agit d'un minimum. Si a<0, il s'agit d'un maximum!

Posté par
franzre : Enigme de clemclem 5** 11-11-04 à 12:13

gagné1ère partie :

Soit v0 la vitesse de la colonne et v1= .v0 la vitesse de la chenille pressée.
Cette denière rejoint la tête de la colonne après un temps t1 et met un temps t2 entre l'instant où elle fait demi-tour et celui où elle reprend sa place.
La tête de la colonne a parcouru la distance v0t1 à l'instant du demi-tour.

On a donc le système suivant :
\{\array{v_0(t_1+t_2)=50 \\ \alpha v_0 t_1 = 50 + v_0 t_1 \\ \alpha v_0 t_2 = v_0 t_1} \;\;\Longleftrightarrow \;\; \{\array{t_2 = \frac {t_1} \alpha \\ v_0 t_1 (1+\frac 1 \alpha) = 50 \\v_0 t_1 ( \alpha - 1 )= 50} \;\; \Longrightarrow \;\;1+\frac 1 \alpha = \alpha - 1 (en faisant le quotient des deux denières lignes).

\alpha est donc la racine positive de
\alpha^2-2\alpha-2=0
\alpha = 1+\sqrt 2

La chenille pressée va donc 1+\sqrt 2 plus vite que la colonne. Pendant que la colonne se déplace de 50 cm, elle parcourt
           \huge{50(1+\sqrt 2)}\;\;(\approx 120,7) cm






2ème partie:
1° cas : a=0
la fonction f : \relstack{{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}} {x\rightarrow bx+c} n'admet pas d'extremum si b\neq 0 et en admet une infinité si b=0 (f est constante)

2° cas : a0
f(x)=ax^2+bx+c=a\(x^2+\frac b a x+\frac c a\) = a\[\(x+\frac b {2a}\)^2 - \(\frac b {2a}\)^2+\frac c a\]=a\(x+\frac b {2a}\)^2 +\frac{4ac-b^2}{4a}

\forall x \in {\mathbb R}-\{-\frac b {2a}\}\hspace{10}(x+\frac b {2a}\)^2 \gt 0

si a>0
\forall x \in {\mathbb R}-\{-\frac b {2a}\} \hspace{10} a\(x+\frac b {2a}\)^2 \gt 0 \\ \hspace{100}f(x) \gt \frac{4ac-b^2}{4a} \hspace{20}\(=f\(-\frac b {2a}\)\)                           \(-\frac b {2a}\) est l'unique minimum de f


si a<0
\forall x \in {\mathbb R}-\{-\frac b {2a}\} \hspace{10} a\(x+\frac b {2a}\)^2 \lt 0 \\ \hspace{100}f(x) \lt \frac{4ac-b^2}{4a} \hspace{20}\(=f\(-\frac b {2a}\)\)                           \(-\frac b {2a}\) est l'unique maximum de f




Posté par Khawarezmi (invité)re : Enigme de clemclem 5** 11-11-04 à 14:02

perdu1ére partie:
la chenille pour se mettre à la tete de la colonne doit parcourir 50 cm et pour revenir a la derniere place elle doit retracer son chemin et faire 50 cm de plus.mais comme la colonne a avancé de 50 cm la chenille va parcourir 50+50+50=150 cm
2ème partie:
la réponse est oui. pour que a[/sup]+bx+c admette un extremum il faut que (a[sup]+bx+c)'=0
or  (a[/sup]+bx+c)'= 2ax+b
et comme 2ax+b=0 admet toujours une seule solution donc toute fonction de la forme a[sup]+bx+c admet un seul extremum.

Posté par gilbert (invité)re : Enigme de clemclem 5** 12-11-04 à 22:32

perduPremière partie
Soit V la vitesse de la chenille et v la vitesse de la colonne .
Soit d la distance parcouru lorsque la chenille arrive en tête .
Le temps pour arriver en tête t1 = 50+d/V = d/V
Le temps total est égal à t = 50 +2d/V  = 50/v

Si on fait le rapport de ces deux équation , on obtient
(50+d)/(50+2d) = d/50

Soit 2d = 50 *rac(2)
La distance totale parcourue par la chenille est donc D= 50 + 50 *rac (2) = 50 (1+rac2)=50 *2,414 cm = 121,2cm


Deuxième partie

Si f(x) admet un extremum, sa dérivée est nulle.
Or si a différent de 0 (sinon c'est l'équation d'une droite qui n'a pas d'extrêmum), alors y' =2ax +b qui est une fonction affine strictement monotone qui va de + (ou -)infini à - (ou+ )infini, donc qui  s'annule en 1 point unique.
Il y a donc un et un seul extremum à f(x) =ax2+bx+c

Posté par fallbal (invité)reponce 12-11-04 à 23:00

perdu1) on pose v=vitesse et t = temps
a l'aller elle parcour 50 cm de + que la colone donc d aller=vXt+50
au retour elle parcoure les 50cm qui la separe de la fin de la colone moins la distance parcouru par la colone donc d retour=50-vXt
donc d total= d aller + d retour
            =vXt+50+50-vXt
            =100cm

2) la fonction du type f(x)=ax²+bx+c admet tjs un maximum ou un minimum car f'(x)=2ax+b qui ne fait qu'un changement de signe dans R donc f(x) admet un toujours un maximum ou un minimum (en foction du signe de a)

Posté par aurelio (invité)re : Enigme de clemclem 5** 13-11-04 à 13:52

perdu
1ère partie :
Des chenilles se déplacent en ligne, les unes derrière les autres, à une vitesse qui est constante, en formant une colonne de 50 cm de long.
La dernière chenille décide d'aller voir la première chenille et pour cela rejoint la tête de la colonne puis une fois cela fait, elle retourne aussitôt à la queue de la colonne.
Sachant que pendant cet aller retour, la vitesse de la chenille est rester constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcouru par la chenille???
elle a fait 50 cm+50 cm soit 100 cm pour aller a la queu puis on sait que la chenille va 2* plus vite u retour elle a fait 50/3  soir 100+50/3environ egal a 116.6666m


2ème partie:
Une fonction polynôme de la forme (avec a,b et c qui sont des réels) admet-elle toujours un seul et unique minimun (ou maximun cela dépend)?
Si la réponse est oui, vous la démontrerez.Si la réponse est non, un contre exemple me suffira.
non la fonction x²-2x-3
delta=4-4*1*-3==16
x1=(4-4)/2=0
x2=8/2=4

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Enigme de clemclem 5** 13-11-04 à 15:15

Bravo à vous,
Voici une des corrections possibles :

1ère partie :
Propriété utile :  Lorsque deux mobiles de vitesses v et v' parcourent, pendant le même temps t, des distances d et d', le quotient des distances parcourues \frac{d}{d'}est égal au quotient des vitesses\frac{v}{v'}

Soit x la distance parcourue par la colonne pendant la première étape, c'est à dire pendant que la chenille rejoint la tête de la colonne. Pendant cette étape, la chenille et la colonne se déplacent dans le même sens, donc la chenille parcourt 50 cm de plus que la colonne.
Quotient des distances parcourues et donc des vitesses :\frac{x}{x+50}

Pendant la deuxième étape, la colonne parcourt la distance 50 - x puisqu'elle parcourt au total 50 cm. La chenille, pendant ce temps parcourt la distance x.
Quotient des distances parcourues : \frac{50-x}{x}

Or les vitesses sont restées constantes, donc \frac{50-x}{x} = \frac{x}{x+50}

On résoud et on arrive à x^2=1250
Donc x=\sqrt{1250}=25\sqrt{2}

Mais n'oublions pas que la chenille a parcouru 50 +2x donc en fait la fourmi a parcouru : 50 + 50\sqrt{2}cm

2ème partie :
On pouvait aborder le problème sous plusieurs angles.
Vous trouvez deux résolutions différentes mais très bonne chez juliannem ou chez dad97 par exemple.

Précision pour toi Gilbert tu as bien vu pour la pour la deuxième partie le problème mais tu es arrivé à une conclusion fausse...bizarre mais bon...

Posté par 95200 (invité)re : Enigme de clemclem 5** 16-11-04 à 20:33

non rien

Posté par la_fureur (invité)re : Enigme de clemclem 5** 02-07-05 à 16:40

Cette énigme elle était pas dans les olympiades de maths de il y a 3 ans?

Posté par philoux (invité)re : Enigme de clemclem 5** 04-07-05 à 11:36

Bonjour la_fureur

Puisque tu "déterres" un vieux post, et si tu désires te prendre la tête sur une énigme du même accabit, voici celle-ci.

Je m'étais inspiré de la première en la compléxifiant.

Nota : avant d'utiliser Cardan pour la résolution d'une équation du 3° degré, regardes bien ...

Philoux

Enigme de clemclem 5

Posté par
Nofutur2re : Enigme de clemclem 5** 04-07-05 à 14:43

Je trouve racine (L) =L
Donc L = 1m, mais comme je suis un habitué des erreurs de calcul!!!
t1 = 2V/(V2-v2) = L/v
t2= V/(V2-v2) = L/2v


Sinon la référence est Bernard WERBER.
Trilogie des fourmis (Foumilière de Bel-O-Kan et Ver Ber nar pour Werber Bernard)

Posté par
Nofutur2re : Enigme de clemclem 5** 04-07-05 à 14:46

Oups !!J'ai peut être répondu un peu vite.
L'énigme n'était peut être destinée qu'à la_fureur...Si c'est le cas toutes mes excuses philoux..

Posté par philoux (invité)re : Enigme de clemclem 5** 04-07-05 à 15:35

Salut Nofutur2

Ok pour la réponse culturelle;

En revanche, tu dois trouver :
- des distances et non des temps,
- des valeurs numériques, et non littérales.

Par ailleurs, l'énigme est ouverte à tous ...

Eventuellement, ne donner que les 2 distances (blanquées si vous le voulez/pouvez).

Philoux

(>NF2 : Parviens-tu à éviter Cardan ?)

Posté par
Nofutur2re : Enigme de clemclem 5** 04-07-05 à 16:50

J'ai trouvé l = 1 m pour les deux distances parcourues par la procession et l= 2,414 m pour la distance parcourue par Bel-O-Kan.
Et ceci dans les deux cas....Sans 3ème degré ..(mais j'ai certainement faux)

Posté par philoux (invité)re : Enigme de clemclem 5** 04-07-05 à 16:58

>NF2

Le deux distances parcourues ne sont pas égales.
Par ailleurs, sauf simplification (je me méfie, car J-P, sur cette énigme   Un aquarium mini mini., était parvenu à éviter Cardan), tu dois résoudre une équation du 3° degré.

Philoux

Posté par
Nofutur2re : Enigme de clemclem 5** 04-07-05 à 17:20

Soit V la vitesse de la fourmi et v celle de la colonne.
Comme celle-ci mesure 1m, le temps de l'aller-retour en montée est :
T1 = 1/ (V-v) + 1/(V+v) = 2V/ (V2-v2) = L /v (avec L la longueur parcouru pendant ce temps par la colonne).
En descente , on a
T2 = 1/(2V-2v) + 1/(2V+2v) = 4V/(4V2-4v2) = rac(L) / 2v.
On a donc L = rac (L) = 2Vv/(V2-v2)
D'ou L=1m et 2Vv=(V2-v2).
En divisant par v2 et en posant X=V/v on trouve X= 2,414.

La longueur parcourue par la fourmi en montée est : V*T1 = V/v = X
En descente : 2V *T2 = 2V/2v = X...

J'ai faux où???

Posté par philoux (invité)re : Enigme de clemclem 5** 04-07-05 à 17:25

>NF2

La vitesse de descente vaut le double de celle de montée donc :

T1 = 1/ (V-v) + 1/(V+v) est erroné...

Philoux

Posté par
Nofutur2re : Enigme de clemclem 5** 04-07-05 à 17:44

Ah !!OK Tu as raison..
Alors là, ça ne se simplifie pas du tout et ca donne de groooooosses équations.

Posté par philoux (invité)re : Enigme de clemclem 5** 04-07-05 à 17:47

>NF2

Tu me rassures car pdt un moment, je me demandais si je n'avais pas fait d'erreur d'énoncé

Alors là, ça ne se simplifie pas du tout et ca donne de groooooosses équations.

Tu étais bien parti avec le changement de variable x = v/V.

Si, tu ne te fais pas d'erreurs, les grooooosses équations se ramènent au d° 3...

Philoux

Posté par la_fureur (invité)re : Enigme de clemclem 5** 04-07-05 à 21:21

>philoux
c'est quoi Cardan?

Posté par philoux (invité)re : Enigme de clemclem 5** 05-07-05 à 16:39

>la_fureur

Gérolamo Cardano, dit Cardan, est celui qui a publié la méthode de résolution de l'équation du 3° degré.

Avant lui, Nicolo Fontana surnommé Tartaglia (le bègue), est surtout célèbre par la découverte d'une méthode de résolution des équations du 3° degré ; cette découverte, faite en 1537, fut dévoilée à Cardan en 1539.

Encore avant lui, Scipione Del Ferro (1465-1526), professeur de mathématiques à Bologne, est le premier à trouver une méthode permettant de résoudre certaines équations du 3ème degré (coef. positifs).

Enfin, c'est Euler qui a éclairci la détermination des 3 racines dans un article en latin de 1732.
Je te renvoie sur un lien wikipédia agréable à lire :

Philoux

Posté par la_fureur (invité)re : Enigme de clemclem 5** 05-07-05 à 16:49

ok merci Philoux

Posté par la_fureur (invité)re : Enigme de clemclem 5** 05-07-05 à 16:50

On l'apprend en terminale?

Posté par philoux (invité)re : Enigme de clemclem 5** 05-07-05 à 17:03

>la_fureur 16:50

Non, mais le niveau requis est accessible aux Tles, voire en dessous (hormis les complexes).

Va sur le lien fourni à 16:39 pour te faire ton idée...

Philoux

Posté par
lyonnaisre : Enigme de clemclem 5** 05-07-05 à 20:34

merci philoux pour ce lien

je m'entraîne avec les exemples donnés dans ce dernier et j'essaie ensuite de résoudre l'énigme ... merci encore !

PS : cardan est vu en math sup ou pas ?

@= sur l'

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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