Salut, et bonne année par avance ,

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par pythagore CB = racine3/2
et cos(EB;EC) = 1/2 d'où (EB;EC) = Pi/3 et donc (ED;EA) = Pi/6.
en notant F le projeté orthogonal de D sur (AB), on a sin(BAC) = DF
Donc sin(DEA) = sin(pi/6) = DF/DE
donc DE = 2.DF = 2.sin(BAC)
donc a² = 1 + DE² = 1 + 4.sin²(BAC)

par ailleurs on a (ACB) = Pi/2 - (BAC)
donc cos(ACB) = CB/AC = [racine3/2]/(1+a)
= racine3/(2+2a)

on a donc a² = 1 + 12/4+4a²+8a
donc (4a²+8a+16)/(4a²+8a+4) = a²
d'où 4a⁴+8a³-8a -16 = 0
d'où 4(a+2)(a³-2) = 0
d'où a = 2^(1/3)
voilà j'ai pas trop pris le temps de me relire alors si y'a erreurs ...

bonjour yoyodada,c'est la reponse que j'ai trouvé. Un petit coup de Pythagore dans le triangle EBC nous donne  
Les triangles DEF et BCE sont semblables, car tous les  angles sont égaux (pour s'en persuader, on peut utiliser le sinus et le cosinus de l'angle 'C' dans EBC pour trouver ECB=30° donc BEC=60°... donc DEF=30° et FDE=60°)
On a donc: DF/DE=EB/EC (c'est d'ailleurs cos(EDF)=cos(BEC)). On en tire DE=2DF
Le parallelisme de (DF) et (CB) nous permet d'utiliser le théorème de thalès pour ecrire: AD/AC=DF/CB soit encore après simplification:
on y injecte DE=2DF pour donenr  .

Dans le triangle DEC rectangle en E, pythagore nous permet d'établir: DC^2=DE^2+EC^2 soit:
a^2=DE^2+1, Or, DE est déterminé en fonction de a, après simplifications on obtient l'équation: .
Or -2 est racine "évidente" de cette équation... qui devient:  . a étant positif (c'est une longueur) on a donc a=3v2 OUF !

Bonjour flygorn

Je ne vois pas F sur la figure et je ne comprends pas pourquoi on retrouve 30 degrés en DCE?

Photo prise sur un autre site d'enigme mais je la trouve géniale elle fait intervenir tellement de choses !
Effectivement c'est racine cubique de deux la réponse, mais... un tel nombre n'est pas constructible à la règle et au compas..... et cette figure non plus !

oui c'est vraie