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enigme math

Posté par
oussayousei 11-08-13 à 21:11

salut,

voila un bon défit pour vous pour bien tester nos niveaux en maths .

soit a , b et c appartenant à Q tel que : ab+bc+ca=1

montrez que : racine[ ( 1+a2)(1+b2)(1+c2)]

bon chance

édit Océane : forum modifié

Posté par
Manga2re : enigme math 11-08-13 à 23:59

Bonjour,
On a (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(abc)^2+(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+a^2+b^2+c^2+1
Puisque ab+bc+ac=1 alors par élévation au carré: (ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+2abc(a+b+c)=1
On remplace: (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(abc)^2-2abc(a+b+c)+a^2+b^2+c^2+2
Puisque ab+bc+ac=1 alors en multipliant par 2 on a (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=2
On remplace: (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(abc)^2-2abc(a+b+c)+(a+b+c)^2=((a+b+c)-abc)^2
Donc \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}=a+b+c-abc\in\mathbb{Q}

Posté par
Manga2re : enigme math 12-08-13 à 00:00

Je reposte (j'ai oublié de sauter de ligne personnellement ça me fait mal aux yeux)

On a (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(abc)^2+(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+a^2+b^2+c^2+1

Puisque ab+bc+ac=1 alors par élévation au carré: (ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+2abc(a+b+c)=1

On remplace: (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(abc)^2-2abc(a+b+c)+a^2+b^2+c^2+2

Puisque ab+bc+ac=1 alors en multipliant par 2 on a (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=2

On remplace: (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(abc)^2-2abc(a+b+c)+(a+b+c)^2=((a+b+c)-abc)^2

Donc \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}=a+b+c-abc\in\mathbb{Q}

Posté par
Manga2re : enigme math 12-08-13 à 00:02

Ah oui désolé \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}=|a+b+c-abc|\in\mathbb{Q}

Posté par
oussayouseire : enigme math 12-08-13 à 00:15

félicitation manga2

Posté par
Manga2re : enigme math 12-08-13 à 00:35

Merci ^^

Posté par
alainpaulre : enigme math 12-08-13 à 16:28

Bonjour,


Quelques étapes:

à partir de ab+bc+ac éliminer une variable ,soit b,
b=\frac{1-ac}{a+c} \\ 1+b^2=\frac{(1+a^2)(1+c^2)}{(a+c)^2}

Là,le tour est joué tous les facteurs sont au carré:
Racine = \frac{(1+a^2)(1+c^2)}{(a+c)}

Je n'ai pas vérifié la compatibilité des solutions proposées,


Alain

Posté par
oussayouseire : enigme math 12-08-13 à 18:19

alainpaul

je n'arrive pas à comprendre ton étape . expliquez moi svp

Posté par
alainpaulre : enigme math 12-08-13 à 19:15

Bonsoir,

Voilà,je pars de l'idée  que sous le radical,
racine carrée,nous trouverons un carré :
( Q(a,c)/P(a,c))2,
j'essaie de simplifier les futurs calculs en éliminant
une variable b ,l'égalité ab+bc+ca=1 ,nous rend
la chose possible (a+c)b+ca=1 ,d'où b = ...
b2+1= ...

Poursuis les calculs
\sqrt{ } = ...


Bonne chance,


Alain

Posté par
oussayouseire : enigme math 12-08-13 à 20:45

félicitation alainpaul


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