Enigme " numerus " - 5 - - forum mathématiques

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Enigme " numerus " - 5 -
Posté par 
Violoncellenoir  24-03-08 à 22:42
Bonsoir,

Un peu d'arithmétique :

Démontrer que :

 est divisible par 

Pour ceux qui ne sont pas trop familier avec l'arithmétique :

2 indices ici :

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- 7 peut s'écrire 23-1

- somme des puissances de x , pour x 1 : 1 + x + x2+ x3+ ... + xn-1 = 

Merci, une fois n'est pas coutume, de blanker 

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Nightmarere : Enigme " numerus " - 5 -  24-03-08 à 22:48
Salut 

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 d'où 
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Violoncellenoirre : Enigme " numerus " - 5 -  24-03-08 à 23:09
J'ai omis de préciser : on essaie de démontrer à l'aide de la somme des puissances de x 

Nightmare 

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Ok    Tu es épargné vu que tu as répondu avant 
 Posté par 
rezoonsre : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 12:40
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Démontrer que 260-1 est divisible par 7 reviens a démontrer que:

(260-1)/(23-1)

or on peut ramener l'expresion a ((23)20-1)/(23-1).

en prenant x=23=8 cela revient a la formule des sommes de puissances de x. x donc la somme des puissances de x de 0 a 19 appartient aussi a .

260-1 est donc bien divisible par 7. 

Désolé pour l'écriture mais j'ai essayé d'écrire en latex mais j'ai du mal et je suis nul en formulation. 

Sinon grace a toi j'ai appris une nouvelle formule 

J'espere ne pas avoir fait d'erreur.
 Posté par 
Violoncellenoirre : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 17:37
rezoons

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Tu as utilisé très habilement les indices donnés et ton raisonnement ne manque pas de bon sens, très bien ! Par contre ta formulation n'est pas du tout à la hauteur et cela ternit fortement la démo ! 

Alors je te laisse le soin de remettre le couvert, je pense que cela en vaut la peine 

 Posté par 
rezoonsre : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 17:42
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je vais réessayer 
 Posté par 
rezoonsre : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 18:04
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Démontrer que 260-1 est divisible par 7 reviens a démontrer que:

.

or:

=

on a donc:

=1+8+8²+83+...+819

donc 260 est bien divisible par 7. 

C'est mieux formuler comme ca? (j'ai essayer d'utiliser la tex  )
 Posté par 
Violoncellenoirre : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 18:25
rezoons

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Oui c'est nettement meilleur   N'oublie pas que la formulation c'est tout aussi important que le raisonnement.

A part ça ta manip est courte et efficace, je te félicite 
 Posté par 
rezoonsre : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 18:27
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merci 
 Posté par 
ThierryMasulaEnigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 18:47
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Il suffit d'écrire tout cela en binaire et le tour est joué...
 Posté par 
Violoncellenoirre : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 18:58
ThierryMasula

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Citation :
Il suffit d'écrire tout cela en binaire et le tour est joué...

On t'écoute 
 Posté par 
ThierryMasulare : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 19:07
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 s'écrit en mettant 60 fois le chiffre 1 collés les uns aux autres.

Tandis que 7 s'écrit 111 (3 fois 1).

Puisque 60 est divisible par 3, la démonstration est faite.

Note qu'en octal, cela marche aussi et c'est moins long à écrire.
 Posté par 
Violoncellenoirre : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 19:10
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ok, lis le post de 23h09 
 Posté par 
ThierryMasulaEnigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 19:33
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Ecrire une suite de n '1' dans une numérotation en base b équivaut à écrire

 ce qui est bien une somme de puissances de b.
 Posté par 
Violoncellenoirre : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 19:34
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Et c'est pourquoi tu as le droit de l'écrire 
 Posté par 
plumemeteorere : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 20:48
bonjour VioloncelleNoir

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260-1 est divisible par 3, 5, 7, 11, 13, 31 et 61
 Posté par 
Violoncellenoirre : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 20:59
Salut PM 

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Merci pour la précision 
 Posté par 
simon92re : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 21:25
Salut

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.

On pose 

Comme  , on a 
 Posté par 
littleguyre : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 21:30
Bonjour 

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Selon Maple : 260-1 = (3)2(5)2(7)(11)(13)(31)(41)(61)(151)(331)(1321) 

Bon, je retourne à mes études  
 Posté par 
Violoncellenoirre : Enigme " numerus " - 5 -  25-03-08 à 22:12
Simon

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Oui 

Littleguy

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 Posté par 
ThierryMasulaEnigme " numerus " - 5 -  26-03-08 à 20:38
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 pour a0 ou 1

Dans le cas particulier où  et 

Si b=2 et k=3 on déduit que  est un nombre entier.

et donc  est divisible par 7

PS: La démo proposée par Nightmare est drôlement élégante.

En utilisant le théorème de Fermat on obtient bien que  (module 7) pour tout a non divisible par 7.

Bravo pour Nightmare !
  Posté par 
Violoncellenoirre : Enigme " numerus " - 5 -  26-03-08 à 21:22
Bonsoir,

Je crois que le tour de la question a été fait, avec des interventions assez intéressantes au passage, merci de la participation 

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