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[énigme] polygones

Posté par
kernel
28-12-15 à 19:20

Bonsoir,

J'ai essayer de résoudre l'énigme suivante tiré d'un livre :

Citation :
Léonard propose un exercice à ses élèves.

Au centre d'un parchemin, dessinez un cercle d'un diamètre d'un centimètre.
Puis circonscrivez au cercle un triangle équilatéral. Puis, circonscrivez un autre cercle au triangle.
Ensuite, circonscrivez un carré au deuxième cercle. Un troisième cercle, puis un pentagone régulier.
Continuez ainsi, en incrémentant le nombre du côté du polygone régulier.

Si vous deviez répéter ce processus, en ajoutant des cercles et des polygones plus grands. Quelle serait à peu près la taille du parchemin dont vous auriez besoin ?


Voici mon cheminement :
Soit :  (r,g) \in [\mathbb{R}^\mathbb{N}]^2  

On a :  r_{n+1}=r_n \sqrt{1+\frac{1}{tan^2(g_n)}}
Et :  g_n=\frac{\pi}{2}{(1-\frac{2}{n})}

malou ***message édité***j'ai rapatrié ton Ltx ici, merci d'écrire en Ltx directement sur ce site, tu as tout ce qu'il faut sous ton message pour cela

Posté par
kernel
re : [énigme] polygones 28-12-15 à 20:32

PS : Comment fait-on pour éditer ses messages ?

Posté par
kernel
re : [énigme] polygones 28-12-15 à 20:34

Voici un code sous python 2.7 qui m'a servit à trouver la limite de la suite (r), qui répond à la question posée :

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-

from math import *

def gamma(n):
	return 0.5*pi*(n-2)/n

def rayon(n,r):
	return sqrt(1+1/tan(gamma(n+1))**2)*r

r = 1

for n in range(1,1000000):
	r = rayon(n+1,r)
	
print("r = " + str(r))

Posté par
kernel
re : [énigme] polygones 28-12-15 à 20:35

Source de l'énigme avec un dessin pour y voir plus clair :

***lien extérieur supprimé, charge ton image directement sur le site, et avec la bonne orientation si possible ! ***

[énigme] polygones

Posté par
kernel
re : [énigme] polygones 29-12-15 à 15:42

Eurêka ! Quelqu'un a réussi à me trouver la réponse !

Voici le cheminement :

Soit : $$ (r,g) \in [\mathbb{R}^\mathbb{N}]^2  $$
 \\ 
 \\ $$ (r_n)_n : longueur\ du\ n^{ième}\ rayon $$
 \\ 
 \\ On a : $$ (A) : \forall n \in \mathbb{N}^*,r_{n+1}=r_n \sqrt{1+\frac{1}{tan^2(g_{n+2})}} $$
 \\ 
 \\ Avec : $$ \forall n \geqslant 3,\ g_n=\frac{\pi}{2}{(1-\frac{2}{n})} $$
 \\ 
 \\ Puis : $$ (A) \Leftrightarrow \begin{cases} r_n=r_{n+1} cos(\frac{\pi}{n}) & \text{si }n \geqslant 2 \\ r_1=1 & \text{si }n=1 \end{cases}$$
 \\ 
 \\ Finalement : $$ \lim_{n \to \infty} r_n=r_1\frac{1}{\prod_{i=3}^{\infty} cos(\frac{\pi}{n})}\backsimeq8.7 $$

Bonnes fêtes !

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