Bonsoir,
je pense que ton problème est difficile.

Si on prend n points mathématiques dans un rectangle, la probabilité d'avoir au moins un triangle équilatéral est nulle.

Comme tu précises que tes « points » sont des carrés ( si j'ai bien compris ) de coté 1mm,  je suppose que tu considères que l'on a un triangle équilatéral formé par trois «points» quand il y a un triangle équilatéral dont les sommets sont dans ces «points».

oui c'est  ça ,enfin mon point et un rond; de 1mm de diametre..
et oui je me rend compte de la difficulté du coup  car comme tu le precise effectivement on  "considères que l'on a un triangle équilatéral formé par trois «points» quand il y a un triangle équilatéral dont les sommets sont dans ces «points»."...
il faudrait une sorte de programme informatique pr calculer ça ^^

En fait et pour rajouter un peu  d'énigme a cette énigme et peut être lui donner un peu d'attrait voici en pratique mon probleme:
c'est une carte de type carte routiere dune region en particulier..
il ya donc environ 350 "points" (villes par ex/points de reperes)  ,et en faisait des recherches je me suis aperçu dun nombre vraiment tres importants de triangles parfait entre un grd nombre de ces points...et ceci semble n'etre pas le fruit du "hasard" justement.. et c'est ce que j'aurai aimé soit demontré, soit "demonté"
j'aimerai vraiment pourtant arrivé a trouvé une solution a ce probleme, si vs avez une idee d'ou me diriger n'hésitez pas, et encore merci.

Les villes ne sont pas réparties au hasard.
Et il y a des raisons théoriques pour qu'elles forment des triangles à peu près équilatéraux.
Ma source étant des discussions assez anciennes avec un ami passant l'agrégation de géographie.
Mais verba volant et je ne saurais le justifier.

Bonjour,

Je n'avais pas vu cet exercice.
Tu pourrais réduire ton observation avec 14 points sur
un rectangle de 4 cmx5.6cm.
La probabilité sera la même pour peu que les points ne
mesurent que  0.04 mm²....
Cela te montrera qu'il y a  peut être un équilatéral
approximatif ce qui te donnera une piste sur la grandeur du "point"
avec un point circulaire de  4 mm² environ la  probabilité augmente
fortement.

En réfléchissant
La réduction de 1/5 des dimensions et de 1/25 des surfaces n'impose
pas la réduction de la surface des points (la réduction de leur nombre suffit).

Par  contre on pourrait chercher quelle est la dimension minimale de ces points
pour être assuré d'en trouver  3 équilatéraux  (en pointant un compas sur leur
"surface".

>persil

Ta demande mérite mieux que le silence...

Je pense qu'on peut modéliser autrement:
1/prendre une surface de référence et dans ce cas le cercle de rayon R
est le plus approprié .
2/donner un  nombre N de "points" qui seront aussi des cercles.
3/donner un rayon r à ces points.

Il faut trouver l'équation qui lie R,N et r telle que 3 points au moins
forment un triangle équilatéral

Exemple R=4 cm et N=14
je trouve r0.2cm
Bien sûr pour  N=3 ...>r=3cm