Niveau énigmes

Enigme : Rapport Constant

Posté par
Bcracker 16-03-08 à 01:04

Bonsoir,

J'ai une énigme interessante que j'ai trouvé dans un bouquin de math (assez facile tout de même) à vous proposer. Voici l'énoncé :

Soient M et N deux points de la demi-parabole d'équation $y=x^2$ où $x\geq0$ . $M$ et $N$ ont pour abscisses respectives $t$ et $\frac{t}{2}$ . On note $\cal{A}$ l'aire du triangle $OMN$ et $\cal{B}$ celle du triangle "curviligne" $[OMN]$ . Prouver que pour tout $t$ , le rapport $\frac{\cal{B}}{\cal{A}}$ est constant.

Bonnes recherches

Posté par Rapport Constant 16-03-08 à 08:52

Bonjour à tous!
On a l'aire sous la courbe par une intégrale.
Pas de problème pour les aires des divers triangles et trapèze utilisés.
Ensuite A et B par différence. Partout, on a un t^3 en facteur, qui se simplifie quand on fait le rapport.
Je trouve B/A=27/16 mais je n'ai pas vérifié mes calculs.

Posté par re : Enigme : Rapport Constant 16-03-08 à 10:03

bonjour !
pourrait-on généraliser en formulant le rapport des aires en fonction du rapport des abscisses de M et de N ?

Posté par Rapport Constant 16-03-08 à 10:22

Tout-à-fait, plumemeteore!

Si je remplace dans mes calculs t/2 par t/k, je vois, à vue d'oeil, que les t^3 vont encore se simplifier et que le résultat ne dépendra que de k.

Posté par re : Enigme : Rapport Constant 16-03-08 à 15:11

salut tout le monde

rogerd > l'idée est bonne, mais je pense qu'une erreur de calcul s'est glissée dans ton raisonnement.

Bon, je vous livre une réponse possible :