Enigme Slpok 03/07/2017

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Enigme Slpok 03/07/2017
Posté par 
Slpok  03-07-17 à 19:27
Salut  



Une énigme de calcul aujourd'hui : 



On donne l'expression suivante : 



Si la valeur de cette somme peut être exprimée sous la forme  avec et  des nombres relatifs positifs, trouvez .



Notez que la forme généralisée de l'expression est :  
 Posté par 
jandri re : Enigme Slpok 03/07/2017  03-07-17 à 22:09
Bonjour,



il faut comprendre la question avec  fraction simplifiée.



J'ai trouvé: 
 Cliquez pour afficher
.
 Posté par 
Slpokre : Enigme Slpok 03/07/2017  03-07-17 à 22:15
Haha bravo à Jandri, expose ton raisonnement un des ces 4, j'aimerais bien pouvoir comparer  
 Posté par 
jandri re : Enigme Slpok 03/07/2017  03-07-17 à 22:48
Voici les étapes de ma démarche:

 Cliquez pour afficher


J'ai commencé par calculer   (avec a,b,c,d,entiers positifs).

Le résultat a une forme très simple.



Ensuite j'ai calculé 

 Posté par 
dpire : Enigme Slpok 03/07/2017  04-07-17 à 08:13
Bonjour;

>Slpock

Merci d'animer.

Mon humble avis:

Nous sommes en "détente"  où les participants sont friands

de cas concrets ....

Je verrais bien ce type  d'exercice dans "supérieur" ou "espace profs".
 Posté par 
jandri re : Enigme Slpok 03/07/2017  04-07-17 à 10:25
Bonjour dpi,



l'intérêt de proposer ce type d'exercice en "détente" c'est qu'on peut "blanker" les réponses, ce qui laisse la possibilité aux autres de chercher quand les plus rapides ont trouvé.
 Posté par 
jandri re : Enigme Slpok 03/07/2017  04-07-17 à 10:33
J'ai généralisé à  mais il n'y a pas de formule simplifiée pour , seulement une formule avec deux sigma: la suite  n'est pas reconnue par l'OEIS.
 Posté par 
dpire : Enigme Slpok 03/07/2017  04-07-17 à 12:12
OK

J'ai compris
 Posté par 
jandri re : Enigme Slpok 03/07/2017  04-07-17 à 15:55
J'ai réussi à simplifier la formule pour , il reste un seul sigma.
 Posté par 
Alexiquere : Enigme Slpok 03/07/2017  10-07-17 à 23:31
Un peu plus de détails Jandri ? 
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Si je pose , on obtient la relation linéaire récurrente ... Le polynôme caractéristique est  mais après bof... Je suppose que des raisonnements de combinatoire évitent les calculs.. 
 Posté par 
jandri re : Enigme Slpok 03/07/2017  11-07-17 à 10:31
Pour calculer  j'ai d'abord fait le calcul pour  puis j'ai deviné une formule générale très simple qui se démontre facilement par récurrence.



Mais je n'ai pas réussi à la démontrer directement par un raisonnement combinatoire.
 Posté par 
Alexiquere : Enigme Slpok 03/07/2017  14-07-17 à 20:23
J'essaie de me mettre au niveau et d'avoir le fin mot de l'histoire : 
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avec tes notations et tes réponses :  avec  et  premiers entre eux ce qui donne  qui est premier donc A=1 et   n'est pas entier... réponses non cohérentes ?..



J'obtiens  (confirmation ?) puis  donc 
 Posté par 
jandri re : Enigme Slpok 03/07/2017  21-07-17 à 15:33
Bonjour Alexique,



Pour ta première remarque tu as fait une erreur, tu as supposé que  divise  ce qui n'est pas le cas.

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Ta formule pour  marche pour  mais pas pour  ni pour , elle est donc fausse.
 Posté par 
Alexiquere : Enigme Slpok 03/07/2017  22-07-17 à 19:36
Fatigue estivale : 
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. Ainsi, . Je pensais décomposer  dans la base des polynômes interpolateurs de Newton (des nombres de Bell apparaissent alors puisque  Les coefficients de cette décomposition sont des nombres de Stirling si je ne dis pas de bêtises mais pas beaucoup d'envie d'expliciter ces  reconnu ou pas par l'OEIS. 
 Posté par 
jandri re : Enigme Slpok 03/07/2017  22-07-17 à 22:16
Cette fois c'est bon pour   .



La suite des  n'est pas sur l'OEIS.

J'ai obtenu une forme un peu simplifiée mais avec un sigma:

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.

  Posté par 
Slpokre : Enigme Slpok 03/07/2017  22-07-17 à 23:22
Haha, j'aime votre façon de traiter en profondeur les énigmes ! 