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Enigme Violoncellenoir
Bonjour,
Je reprends l'énoncé :
Soit un intervalle I contenant 2 points k et p.
Démontrer que l'intervalle ]k , p[ contient au moins un rationnel.
Le but de cet exercice sera de démontrer par toutes les méthodes possibles cette propriété.
Donc ce serait gentil de me donner par chacun une démo différente de celles déjà proposées.
Bonnes réflexions 
Cliquez pour afficherBonjour.
L'impression qu'il y a infiniment plus de nombres irrationnels que de nombres rationnels serait-elle une illusion ?
plumemeteore >>>
L'impression qu'il y a infiniment plus de nombres irrationnels que de nombres rationnels serait-elle une illusion ?
Certes cet exercice montre qu'il y a une infinité de nombres rationnels entre 2 irrationnels. mais je pense que l'on peut démontré de même qu'il y a une infinité d'irrationnels entre 2 rationnels...
Nous sommes dans un modèle continue et non discret, par conséquent il n'y a pas d'idées de proportions (d'un nombre de fois plus de d'irrationnels que de rationnels). En fait je pense que l'on ne peut pas comparé des quantités infinies entres-elles...
ah si Lolo, on peut les comparer... le premier a avoir eu cette idée est Cantor...
deux infinis sont "de même taille" si et seulement si on peut construire une bijection entre les deux ensembles.
On montre ainsi par exemple que 
; 
et 
sont de même taille. Cet infini-là est appelé le dénombrable.
Par contre on démontre que 
, et même seulement l'intervalle [0;1] ne peut être mis en bijection avec ... donc l'infini de est "plus grand" que l'infini de . L'infini de est appelé le continu. On montre aussi aisément qur [0;1] et sont en bijection.
On en déduit que les irrationnels ne sont pas dénombrables car =
c... et si c pouvait lui aussi être mis en bijection avec , alors le serait.
Moralité : il y a "beaucoup plus" d'irrationnels que de rationnels.
MM
Bonjour.
Pour lever ce paradoxe, il faudrait en créer un autre : 1/(p-k) peut être transfini, ce qui est le cas quand il n'y a aucun nombre rationnel entre p et k.
Moi qui croyais qu'on ne pouvais pas comparés des infinis... On en apprend tout les jours!
Mais alors il y a paradoxe, car si il y a "beaucoup plus" d'irrationnels que de rationnels comment peut-il y avoir une infinité de rationnels entre deux nombres irrationnels distincts?
Plumemeteore :
Pour lever ce paradoxe
1/(p-k) peut être transfini,
ce qui est le cas quand il n'y a aucun nombre rationnel entre p et k
En tout état de cause, il ne faudrait pas confondre "paradoxe" avec "résultat contre-intuitif". Que notre intuition soit souvent mis à mal par des résultats obtenus avec des démonstrations mathématiques est monnaie courante (courbe de Péano, Théorie des nombres transfinis, Ensemble Tri-adique de Cantor, Surface de Boy, Ensembles fractals, retournement de la sphère... et j'en passe)... mais en aucun cas cela ne fait de ces démonstrations des paradoxes.
Maintenant, il peut arriver qu'une théorie vous paraisse curieuse au simple fait que vous n'êtes pas encore à un niveau de connaissance mathématique pour les appréhender, et là, on est tous passés par là. Alors soyez patient, faites confiance dans un premier temps (mais pas trop !) et voyez cela comme une motivation pour continuer, approfondir et accéder à ces notions.
Lolo : Non, il n'y a aucun paradoxe dans le fait qu'un ensemble dénombrable soit dense dans un ensemble non-dénombrable... et réciproquement. Cela est surprenant, c'est vrai, mais nous avons du mal à appréhender ce qui touche à l'infini avec notre cerveau qui ne travaille en général que sur des cas fini.
Histoire de semer encore quelques choses curieuses, dis-toi qu'il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers... et pourtant (et c'est encore pire), un des ensembles est strictement inclus dans l'autre (voir une vulgarisation de cette curiosité dans "l'hotel de Hilbert"). Evidemment, ce genre de situation est impossible avec des ensembles finis.
Amicalement à vous,
MM
Bonjour.
Supposons que deux nombres irrationnels soient toujours séparés par deux nombres rationnels.
Alors entre deux nombres rationnels consécutifs, il y aurait au plus un nombre irrationnel.
Il y aurait une application injective allant de l'ensemble des nombres irrationnels à l'ensemble des nombres rationnels qui à chaque nombre irrationnel associerait le nombre rationnel qui lui est immédiatement inférieur.
Les nombres irrationnels seraient tout au plus aussi nombreux que les nombres irrationnels, mais en tout cas pas plus nombreux.
On peut même dire qu'entre deux nombres rationnels consécutifs, il y a infiniment plus de nombres irrationnels qu'il y a de nombres rationnels dans l'ensemble de tous les nombres; que chacun de ces nombres irrationnels est commensurable avec un nombre de l'intervalle ]0;(le plus petit nombre rationnel positif)[; que n'importe quel nombre irrationnel (comme 
) trouve dans cet intervalle un et un seul nombre qui lui est commensurable.
On pourrait ranger les nombres dans un tableau infini à deux dimensions. Une même colonne reprendrait tous les nombres commensurables entre eux; une même rangée (plus infinie qu'une colonne) les nombres compris entre les mêmes nombres rationnels consécutifs. Ainsi, la démonstration du théorème de Thalès montre que les deux rapports 'égaux' sont dans la même rangée; ils sont aussi 'strictement égaux', c'est-à-dire dans la même case; mais comment le démontrer ?
:?plumemeteore >>> Est-tu sur que l'on peut parler de deux nombres rationnels consécutifs? Rien que dans l'ensemble des décimaux déjà, on peut toujours trouver un nombre décimal compris entre deux nombres décimaux distincts. donc de même on peut toujours trouver un rationnels entre deux rationnels distincts. Donc on ne peut pas considéré deux rationnels consécutifs. Donc si r est un rationnel de l'intervalle ]0;+inf[, on peut toujours trouver un rationnel strictement compris entre 0 et r. donc il n'y à pas n'ont plus de plus petit rationnel positif.
Ceci m'ouvre d'ailleurs une perspective d'explication à ce qui m'a paru être un paradoxe. Puisque entre deux rationnels distincts on peut toujours trouver un autre rationnel. Il existe une infinité de rationnels entre deux rationnels distinct. Comme il en vas de même pour les nombres irrationnels. On peut généraliser en affirmant que :
Soient a et b deux réels distincts avec a < b. L'intervalle ]a;b[ contient une infinité de nombres rationnels et une infinité de nombres irrationnels.
Ainsi, on peut se représenté des boules noires et des boules blanches avec entre 2 boules distinctes, une infinité de boules des 2 couleurs. Et la on peut du coup accepter l'idée qu'il y a par exemple beaucoup plus de boules noires que de boules blanches. car même si entre 2 boules noires on peu trouver une infinité de boules blanches, on peu aussi y trouver une infinité de boules noires...
ben oui Lolo, tu vois, il n'y a pas de paradoxe... par contre, c'est vrai que notre petit cerveau a quand même du mal à se représenter la chose ! 
MM
Lolo : je trouve que tu as déjà l'esprit mathématique bien aiguisé pour un élève de terminale S, ... et prometteur.
Il est vrai que tu as encore beaucoup de choses à découvrir dans le domaine des math... mais il est vrai aussi que l'esprit critique et curieux est toujours un avantage.
Personnellement, j'ai rencontré la théorie des transfinis pour la première fois en math spé... et c'est là que j'ai vraiment commencé à adorer les maths.
Les cas dits "pathologiques" sont de loin les plus intéressants...
Peux-tu imaginer par exemple une fonction définie sur R, continue sur les irrationnels et discontinue sur les rationnels ?... alors qu'ils sont denses l'un dans l'autre ! difficile hein ? et pourtant cela existe...
mm
Bonjour à tous,
Merci pour les démos mais pour le cas " Démontrer qu'il y a au moins un irrationnel entre ]a;b[ a et b étant des rationnels ." j'ai besoin des pistes ...
Montereau >>> on peut faire comme MM la proposer pour l'exercice précédent:
Soit q est un nombre entier naturel non-null.
Alors est nécessairement irrationnel.
On dilate l'intervalle ]a;b[ par l'homothétie ce centre 0 et de rapport
On obtient un intervalle d'amplitude strictement supérieure à 1 qui contient donc nécessairement au moins un entier N.
En appliquant l'homothétie réciproque on trouve l'irrationnel dans ]a:b[
Très bien Lolo... on peut aussi le faire avec racine de 2 à la place de pi, dont il est plus simple de montrer que c'est irrationnel
Ma démo est fausse... Il faut dilater l'intervalle par un rapport .
Afin d'avoir deux entiers, car si l'intervalle obtenu ne contient qu'un seul entier N=0 alors ça ne marche pas. avec 2 entiers on ai sur d'en avoir au moins 1 non-nul!
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