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Enigmo 222 : Une boisson transcendante
Bonjour tout le monde,
sur la planète des irrationnels, on fabrique une boisson si délicieuse qu'on la qualifie de transcendante.
Et voilà qu'un client, un peu trop rationnel, désire en acheter 1 litre !
Le problème est que sur cette planète, on ne dispose que de deux types de récipients :
- le récipient archimédien A qui contient 
litres (soit 3,14159... ) ;
- le récipient eulérien E qui contient e litres (soit 2,71828... ).
On explique au malheureux client que, même avec la meilleure volonté du monde et tous les transvasements possibles et imaginables, il ne sera jamais possible d'obtenir exactement 1 litre de boisson ! (ah bon ... ? 
)
Le client se résigne, demande alors qu'on lui prépare 1 litre de boisson, mais il tolère 1% d'erreur : il veut donc entre 0,99 et 1,01 litres.
Pour faire cela, on dispose d'un récipient intermédiaire pour faire les différents transferts.
Par exemple, si on prend 20 fois E et qu'on retire 17 fois A, on obtient : . C'est pas mal, mais il en manque un peu ...
Et si on prend par exemple 9 fois A et qu'on retire 10 fois E, on obtient : . Cette fois-ci, il y en a un peu trop ...
Question : Comment obtenir 1 litre, plus ou moins 1%, avec le minimum de manipulations ?
Si le problème est impossible, vous me répondre "problème impossible".
Bonne recherche ! 
PS : pour que ceux qui ne connaissent pas l'exponentielle et qui veulent quand même jouer à cette énigme dont le principe est assez simple, vous obtiendrez la valeur de e en calculant l'exponentielle du nombre 1, qu'on obtient en tapant e^1 sur une calculatrice (touche e au dessus de la touche \ln en général) ou avec en saisissant la formule EXP(1) sur un tableur par exemple.
Bonjour,
je propose pas moins de 106 manipulations méticuleuses pour réaliser la boisson exigée par le client (qui est roi?)
Il faut prendre 57 fois E et 49 fois A: 57e-49pi
1,0040242 qui réalise la condition souhaitée.
Merci pour l'énigmo.
Salut
57e-491.004 semble etre la reponse au problème avec le moins de transvasement possible.
REMARQUE
On a aussi 73-84e1.0006
defaut : il y a plus de transvasements.
points forts : elle est beaucoup plus précise que la première
C'est la plus petite solution si on ne considère que les solutions que de la forme x-y.e
Il semble que 106 manipulations soient nécessaires, en prenant 57 fois 'e' et en retranchant 49 fois .
57.e - 49. = 1,004
Merci pour l'énigme .
Bonjour,
Il me semble que le minimum de manipulations est de 106
avec l'opération suivante :
1,00402... = 57 e - 49
MM
Bonjour Jamo, et merci
Un peu étonné de ne pas y arriver plus vite, j'ai besoin de 106 manipulations, sous la forme :
106 opérations:
57e - 49 = 1.004024196
On peut même rassurer le client en lui promettant une tolérance de ±0.05% sur son litre
Bonjour,
je propose de prendre 57 fois E puis d'enlever 49 fois A : on obtient 57.e-49.1,004024 L de boisson transcendante (ca ressemble a une biere sainte! 
).
Merci pour l'enigme ^^
Bonjour Jamo,
Encore une fois je préfère risquer le poisson que de ne pas répondre : je n'ai pas eu le temps de bien vérifié la validité de mon programme et je ne suis donc pas parfaitement sûr que je détienne le minimum, néanmoins je trouve :
57*e-49*Pi=1.00402419627 et il semblerait que cela soit la "plus petite" combinaison linéaire qui vérifie les conditions proposées.
Merci pour l'énigme !
Bonjour,
Avec un peu de patience 57 fois E - 49 fois A
*il obtiendra 1 litre 004
un peu plus long 84e-73
*il obtiendra une plus grande précision soit 1 litre 00059
Bonjour,
Voici ma réponse :
Pour obtenir 1 litre, plus ou moins 1%, avec le minimum de manipulations, on prend 57 fois E et on retire 49 fois A.
Et on obtient 57e - 49 1.004.
Merci !
Bonsoir Jamo
j'ai lu ton énigme peu après que tu l'as postée mais n'avait rien sous la main pour écrire mon algorithme.
En espérant que ce dernier a fonctionné correctement, je te proposerai donc
Merci Jamo pour cette énigme et à très bientôt.
Bonjour Jamo,
Retour après une petite interruption...
Je propose 57 fois e dont on retranche 49 fois pi ==> 1,00402.... litres
Merci pour cette énigme
A+
Bonjour.
Il faut remplir le bac avec cinquante-sept brocs d'Euler.
Ensuite, il faut en retirer quarante-neuf vases d'Archimède.
On aura ainsi 1,0040242 litre.
Je crois que tu nous a à moitié aidés à résoudre l'énigme !
Bonjour,
je propose la solution suivante:
On prend 57 fois le récipient E et on retire 49 fois le récipient A.
57 e - 49 pi environ égal à 1.004
Merci
Prenez des récipients des litres et des récipients de e litres.
Faites des manipulations suivantes:
1)Remplissez un récipient de litres et verser la bière dans un récipient de e litres. Dans le premier il reste -e litres. Faites-le deux fois et mettez de côté la quantité trouvée.
2)Faites ensuite la même manipulation et versez la quantité qui reste dans un récipient de e littres. Il manque e-(-e) litres pour le remplir. Prenez-les dans un récipient de litres. dans celui là il reste 2-2e litres. Prenez ce qui manque dans un récipient de e litres. Dans celui là il reste 3e-2 litres. .......... continuez jusqu'à ce que vous ayez comme reste (7e-6). Mettez-le à côté.
3)Faites la même chose et arrêtez-vous à (7-8e)litres.
4)continuez maintenant de façon que le résultat final soit le résultat de 2) moins le résultat de 3)
En faisant multiplier par 2 le résultat obtenu en 4 vous aurez 26-30e litres. Gardez-le.
5)En multipliant le résultat obtenu en 4 par 3 et en retranchant (7e-6) vous aurez (45-52e).
6) Additionner les résultats obtenus en 1);4) et 5).
Vous aurez (73-84e).
Vous serez en suer mais votre client vous paiera de façon satisfaisante parce que vous avez fait mieux qu'il ne vous a demandé.
Bonsoir,
si l'on prend 57 fois le récipient Eulérien E et que l'on retire 49 fois le
récipient Archimédien A,on obtient 1,004 litres. Ce résultat est inférieur au résultat toléré à 1% de différence avec 1 litre
Bien à vous
Bonjour
je pense que si il prend 57 fois E et qu'il enlève 49 fois Pi, il devrait avoir 1.004L
57*2.71828 = 154.942064 et
49*3.141592 = 153.938040
en tout cas merci !
Je propose 57e - 49 1,004.
(Je pense aussi que, comme les décimales de "e" et de "" sont infinies, on ne pourra jamais avoir x, y 
tels que x*e - y* = 1,000... (ou x* - y*e))
Bonjour,
je trouve :
57 e - 49 1,0040242
dans l'autre sens, je trouve 73 - 84 e 1,00059012 qui est plus proche, mais qui demande plus de manipulations...
merci pour l'énigme
Salut,
En prenant 57 mesures eulériennes desquelles on soustrait 49 mesures archimédiennes, on ce rapproche de l'unité à moins de 1%.
57 e - 49 1.004024
avec 106 mesures (ajoutées ou enlevées) c'est la façon la plus rapide de s'approcher de 1. La méthode que j'ai utilisé est la programmation linéaire en nombre entier (PLNE) résolu avec GLPK.
Voici le model ainsi que la sortie du programme pour les curieux
param pi:=4*atan(1);
param eu:=exp(1);
var A integer;
var Ap integer, >=0;
var Am integer, >=0;
var E integer;
var Ep integer, >= 0;
var Em integer, >= 0;
minimize operations : Ap+Am+Ep+Em;
s.t. absolute_A : A = Ap - Am;
s.t. absolute_E : E = Ep - Em;
s.t. tolerance : 0.99 <= A*pi+E*eu <= 1.01;
solve;
printf "\n#######################################################\n";
printf " %3i * pi + %3i * eu = %f ", A, E, (A*pi+E*eu);
printf "\n#######################################################\n";
end;
>glpsol --model c:\Users\Ugur\Documents\Enigmo_222.
mod
Reading model section from Enigmo_222.mod...
29 lines were read
Generating operations...
Generating absolute_A...
Generating absolute_E...
Generating tolerance...
Model has been successfully generated
ipp_basic_tech: 1 row(s) and 0 column(s) removed
ipp_reduce_bnds: 1 pass(es) made, 0 bound(s) reduced
ipp_basic_tech: 0 row(s) and 0 column(s) removed
ipp_reduce_coef: 1 pass(es) made, 0 coefficient(s) reduced
glp_intopt: presolved MIP has 3 rows, 6 columns, 8 non-zeros
glp_intopt: 6 integer columns, none of which are binary
Scaling...
A: min|aij| = 1.000e+000 max|aij| = 3.142e+000 ratio = 3.142e+000
Problem data seem to be well scaled
Crashing...
Size of triangular part = 3
Solving LP relaxation...
0: obj = 0.000000000e+000 infeas = 9.900e-001 (0)
* 1: obj = 3.151267873e-001 infeas = 0.000e+000 (0)
* 2: obj = 3.151267873e-001 infeas = 0.000e+000 (0)
OPTIMAL SOLUTION FOUND
Integer optimization begins...
+ 2: mip = not found yet >= -inf (1; 0)
+ 5: >>>>> 1.060000000e+002 >= 1.000000000e+000 99.1% (2; 0)
+ 17: mip = 1.060000000e+002 >= tree is empty 0.0% (0; 9)
INTEGER OPTIMAL SOLUTION FOUND
Time used: 0.1 secs
Memory used: 0.1 Mb (139279 bytes)
#######################################################
-49 * pi + 57 * eu = 1.004024
#######################################################
Model has been successfully processed
Bonjour la compagnie,
encore une fois la force brute de l'ordinateur m'a été utile ici:
57.e - 49 = 1.004
ce qui est correct à 1% près.
Merci, cela change des récipients de taille 3, 5, ...
Olivier
Bonjour Jamo,
Je me permet de répondre à la question subsidiaire :
"On explique au malheureux client que, même avec la meilleure volonté du monde et tous les transvasements possibles et imaginables, il ne sera jamais possible d'obtenir exactement 1 litre de boisson ! (ah bon ... ? )"
Serait-ce parce que pi et e son algébriquement indépendants ?
Oui, effectivement, je m'étais posé la même question que NoFlash... est-il démontrée que x.e+y. = 1 n'a pas de solution dans 
?
Bonsoir MatheuxMatou,
D'après mon prof de math, il est démontré que pi et e sont algébriquement indépendants, ie e est toujours transcendant dans Q[pi] (ou pi dans Q[e]), et donc si xe+ypi=1 on a un polynôme à coefficient de Q[pi] qui annule e. Cependant il me semble avoir lu quelque part sur internet que justement il n'a pas encore été démontré que pi et e sont algébriquement indépendants.
Je préfère tout de même croire mon prof de math, mais quoiqu'il arrive, comme ces démonstrations me dépassent (il est à peine de mon niveau que de montrer que pi et e sont eux mêmes transcendants, alors quant à le montrer dans un sur-corps de Q ...) je ne peux rien affirmer.
A voir donc ?
Salut Noflah
Pour la transcendance c'est compréhensible pour un taupin de bon niveau, je l'avais eu en ADS, mais la démo est assez hard ^^
Salut Kevin,
La transcendance "ordinaire" oui, mais là il s'agit d'une transcendance dans Q[pi] ou Q[e]. Je ne suis pas sûr que cela reste au même niveau ?
Bonjour,
une petite remarque que je m'étais faite lorsque j'avais répondu à cette énigme. Pour moi, la transcendance de ses nombres n'est pas le bon argument. Par exemple, on pourrait faire le même exo avec racine(2) et racine(3) qui ne sont pas transcendants. Mais l'exo ne marcherait pas avec pi et 1+pi qui sont pourtant tous les deux transcendants...
C'est plus une question d'irrationalité.
Vous êtes d'accord avec moi?
Bonsoir jarod128,
je ne suis pas d'accord avec toi, du moins si j'ai bien compris ce que tu veux dire.
Il me semble assez clair que :
on choisit un objectif dans 
disons x0
On choisit une précision 
>0
alors il existe a et b dans tels que |a+b(1+)-x0|< quelque soit
Nombre de participations : 0
0,00 %0,00 %
0Temps de réponse moyen : 112:15:05.
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