Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau 3 *
Partager :

Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore

Posté par
jamo Moderateur
16-11-10 à 10:11

Bonjour tout le monde,

la semaine dernière, je faisais subir à mes élèves le 1er contrôle sur le théorème de Pythagore.
Dans l'énoncé du 1er exercice, je donnais un triangle ABC avec les longueurs de deux de ses côtés, et demandait de calculer la longueur du 3ème côté. Les deux valeurs données étaient entières, et je précisais que la longueur inconnue était aussi entière.

Et voilà qu'un élève m'interpelle pendant le contrôle : "Monsieur, vous avez oublié de dire où était l'angle droit !".
Je vérifie alors l'énoncé, fais quelques rapides calculs de tête et annonce alors "oui, en effet, mais justement, vous n'avez qu'à traiter les deux cas : celui où on cherche l'hypoténuse et celui où on cherche un petit côté. Dans les deux cas, on trouve une valeur entière pour la longueur inconnue".

Et toc !

Question : quels sont les deux longueurs données dans l'énoncé ?

S'il existe plusieurs solutions, j'en veux une seule (et je ne veux pas la solution "0 et 0").
Si vous pensez que le problème est impossible, alors répondez "problème impossible".

Bonne recherche !

PS : suite à une ancienne énigme, j'ai ouvert un topic ici pour ceux que ça intéresserait : Triancey : le retour

Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 16-11-10 à 12:35

gagnéJe pense que le problème est impossible !!! Mais j'en suis pas sûr.

Posté par
gloubi
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 16-11-10 à 16:20

perduBonjour jamo,

Deux cas peuvent se présenter:

1/ Si les deux longueurs sont impaires, alors la plus grande des longueurs est l'hypoténuse, l'autre un des côtés de l'angle droit.

2/ Si l"une est impaire et l'autre paire, deux possibilités;
    a) Si la somme des longueurs est un carré parfait ainsi que leur différence: la plus grande des longueurs est l'hypoténuse, l'autre un des côtés de l'angle droit. (Idem cas 1)
    b) Sinon, les deux longueurs sont les côtés de l'angle droit.

Pas sûr de bien répondre à la question, mais bon ...  

Posté par
totti1000
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 16-11-10 à 20:00

gagnéBonsoir jamo,

je me suis trompé à la joute n°7... Mais bon...

Pour celle-ci, je propose problème impossible.

J'essaierai de poster une démo plus tard...

Merci pour l'enigmo...

Posté par
torio
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 16-11-10 à 21:32

gagné"problème impossible"

A+
Torio

Posté par
gloubi
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 17-11-10 à 09:57

perduBonjour,

Planté, comme d'hab' !
Je ne considérais que les triplets pythagoriciens primitifs.

Merci pour le (Saint-pierre à l'oseille, STP)  

Posté par
alexdemeru
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 17-11-10 à 16:50

perdudeux des longueur aux hasard mais le triangle dessiné etait un triangle quelconque

Posté par
LeDino
Bonjour 17-11-10 à 17:06

gagnéBonjour,

On suppose que le triangle n'est pas plat (sans quoi la réponse serait triviale et le nombre cherché par les élèves correspondrait simplement au coté non nul fourni dans l'énoncé de jamo).

Au risque de commettre un crime "lèse-jamo" en supposant qu'il s'est planté lors de son cours, je serais alors tenté de dire qu'il n'y a pas de solution au problème.


Justification (sauf erreur...) :

Le problème posé revient à chercher deux carrés dont la somme ET la différence soit des carrés... Ou autrement dit : a² + b² = c² et a² - b² = d²...

Une première recherche sur tableur s'avère infructueuse : en générant des triplets pythagoriciens par a = u²-v², b=2uv, c=u²+v², on ne produit aucun (a²-b²) qui soit un carré. Il n'y a donc pas de solution dans la limite de précision de calcul du tableur (soit une quinzaine de chiffres significatifs).

Une deuxième recherche sur Internet conduit alors à un résultat qui semblerait confirmer cette absence de solution : la démonstration du cas n=4 du théorème de Fermat, conduit implicitement à observer qu'il n'y a pas de solution au problème posé. Plus précisément : il est impossible de trouver deux carrés dont la somme et la différence soit des carrés. Si ce théorème est confirmé, jamo s'est bel et bien planté lors de son cours...

En attendant avec curiosité la correction...

Posté par
Onagane
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 17-11-10 à 20:10

gagnéProblème impossible

Posté par
hey3
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 18-11-10 à 19:05

perduc'est les cotés A et B

Posté par
Menax
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 18-11-10 à 19:31

gagnéProblème impossible.

Posté par
caylus
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 18-11-10 à 19:38

gagnéBonsoir Jamo,

(0,n,n) avec n naturel non nul ne forme pas un triangle.

Donc problème impossible (pauvres élèves)
Merci pour l'énigmo.

Posté par
dpi
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 18-11-10 à 20:00

gagnéBonjour,

J'ai d'abord cherché a^2+b^2=c^2 avec abc entiers
puis  en considérant a>b a^2-b^2=d^2avec d entier
Je n'ai trouvé aucun cas commun alors en relisant l'énoncé j'ai essayé de bâtir deux
triangles rectangles le premier ayant a comme grand coté donc b comme petit coté
et j'ai vu qu'il était impossible de trouver a comme hypoténuse et d comme
petit coté de l'autre triangle  puisque b serait forcément le petit coté
(poisson ...)

Posté par
medtai
enigmo224 18-11-10 à 21:10

perdubonjour

les longueurs sont 3 et 4

la longueur inconnue est 5

les logueurs sont 10 et 6

la longueur inconnue est 8

Posté par
dpi
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 19-11-10 à 12:40

gagnéOubliez l'histoire du petit coté

Pour ceux qui auraient longuement cherché ,j'ai eu un moment de joie
en trouvant 5785 et 4340
qui donnent 3825 (entier)
et 7232 entier jusqu'à une misérable décimale
y -a t'il plus près pour des données inférieures à 10 000 ?

Posté par
Noflah
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 19-11-10 à 18:21

gagnéBonjour Jamo,

Sans grande conviction, faute de démonstration : Problème impossible

Merci pour l'énigme.

Posté par
lysli
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 20-11-10 à 13:26

gagnéMa réponse est impossible
Je résous :
a<b et c²>c'²
a²+b²= c² ( c hypoténuse )
b²-a²= c'² ( b hypoténuse )

Posté par
geo3
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 21-11-10 à 11:54

gagnéBonjour
En fait " il suffit " de chercher x et y entiers tels que x²+y² et x²-y² soient des carrés parfaits
pour x < 10 000 il n'y en pas
donc (probablement ??)
problème impossible
A+

Posté par
totti1000
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 22-11-10 à 15:49

gagnéRebonjour,

je tente une démonstration...

Tous d'abbord on se sert des triplets de Pythagore, qui sont de la forme : (x;y;z) avec x=2rs, y=r^2-s^2, z=r^2+s^2 où r et s \in*.
Rappelons au passage que z>x et z>y.

On a toujours x^2+y^2=z^2.

Supposons maintenant qu'il existe un autre triplet (x';y';z') avec x'=2lk, y'=l^2-k^2, z'=l^2+k^2 où k et l \in*. On a donc 4 cas :

1er cas : x=z', y=x' et z=y'
2rs=l^2+k^2
 \\ r^2-s^2=2lk
 \\ r^2+s^2=l^2-k^2

En soustrayant la ligne 1 à la ligne 3, on obtient r^2+s^2-2rs=(r-s)^2=-2k^2 Contradiction.

2ème cas : x=z', y=y' et z=x'
2rs=l^2+k^2
 \\ r^2-s^2=l^2-k^2
 \\ r^2+s^2=2lk

Ligne 1 + Ligne 3, on a : r^2+s^2+2rs=(r+s)^2=2lk+k^2+l^2=(l+k)^2, il découle avec la Ligne 2 que r=l et s=k Contradiction.

3ème cas : y=z', x=x' et z=y'
r^2-s^2=l^2+k^2
 \\ 2rs=2lk
 \\ r^2+s^2=l^2-k^2

Ligne 3 - Ligne 1, on a : 2s^2=-2k^2, ou encore s^2=-k^2 Contradiction.

4ème cas : y=z', x=y' et z=x'
r^2-s^2=l^2+k^2
 \\ 2rs=l^2-k^2
 \\ r^2+s^2=2lk

Ligne 1 - Ligne 3, on a : -2s^2=l^2+k^2-2lk=(l-k)^2 Contradiction.

Au final on en déduit que le problème n'a pas de solution.

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 23-11-10 à 23:39

gagnéBonjour et merci Jamo,

Je n'arrive pas à le montrer proprement, mais je pense que c'est impossible .

Posté par
ming
pythagore 24-11-10 à 22:33

gagnéproblème impossible

Posté par
Rodival
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 26-11-10 à 14:52

gagné
4$\red \fbox{Probleme\,Impossible}


Soit un triangle rectangle dont (R,S) mesurent les cotés et T l'hypoténuse.
Y a-t'il un autre triangle rectangle de cotés (S,T) et d'hypoténuse U
tel que R,S,T,U soient tous entiers > 0 ?

On obtient le système d'équations :
T² = R² + S²
U² = T² + R²

qui peut s'écrire :
S² = T² - R²
U² = T² + R²

en multipliant :
S²*U² = (T² - R²)*(T² + R²)
(S*U)² = T4 - R4

Or Fermat a prouvé que :
X4 - Y4 = Z²
n'a pas de solution dans les entiers.
(déduction du fait qu'il a démontré qu'un triangle de Pythagore ne pouvait pas avoir une surface égale à celle d'un carré)
(qui se démontre par une descente infinie )

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 27-11-10 à 11:53

gagnéAllez, je tente un "Problème impossible".
En principe, ça fait

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 29-11-10 à 00:22

gagnéBonjour.
Le problème est impossible.
Supposons qu'on ait donné les côtés b et r, avec b supérieur à r.
On a trois carrés en progression arithmétique : a², b² et c² de raison r².
r² est pair, autrement, un ou deux des trois autres carrés aurait un modulo 4 incompatible avec un carré. Donc si b et r (les données) sont premiers entre eux, a, b, c et r sont premiers entre eux.
Pour tout p et q premiers entre eux, avec p supérieur à q, il y a une solution pour b et pour c :
b = p²+q²; c = 2pq+p²-q²
(c²-b²) = (c+b)(c-b) = (2pq+2p²)(2pq-2q²) = 4p(p+q)q(p-q); les facteurs étant premiers entre eux deux à deux (sauf éventuellement p+q et p-q, qui ne peuvent espérer qu'un pgcd 2), ils doivent être tous des carrés.
Vp et Vq sont d'autres solutions pouvant remplacer b et r
or Vp < b car Vp < p²+q²
Vq < r car q est inférieur à 4p(p+q)q(p-q), qui correspond à r²
Conclusion
Quelle que soit la solution, on en trouve toujours une plus petite. Pour b fini, il y aurait une infinité d'autres solutions inférieures qui conviendraient; idem pour r. Ce qui est évidemment faux.
Le problème est donc impossible dans l'ensemble des nombres finis.

Posté par
ksad
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 30-11-10 à 17:25

gagnéproblème impossible...
je crois que ce problème n'a pas de solution vérifiable avec "quelques rapides calculs de tête".
mais j'ai peut-être mal compris l'énoncé, ça par contre, c'est pas impossible

Posté par
rezoons
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 03-12-10 à 20:16

gagnéBonjour ;

je tente problème impossible

car je suis tomber en cherchant sur une equation du type a^4+b^4=c^4
et d'après le théorème de Fermat-Wilès il n'y a pas de solutions (a part (0,0,0))

Posté par
bryan555
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 03-12-10 à 23:13

perduPour moi ce sont les nombres 8 et 17, la racine de la somme de leur carré donne 9 et la racine de la différence de leur carré donne 15

Posté par
Livia_C
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 04-12-10 à 18:51

gagnéBonjour,
Problème impossible
Merci pour l'énigme

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 05-12-10 à 12:21

Clôture de l'énigme

En effet, comme beaucoup l'ont annoncé, ce problème est impossible !

Tout d'abord, il fallait comprendre qu'on cherchait deux nombres entiers tels que la somme et la différence de leurs carrés soient des carrés parfaits.

Ce problème a été résolu par Fermat par la méthode de descente infinie, et certains d'entre vous ont donnée des éléments de démonstration.

Posté par
totti1000
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 05-12-10 à 17:08

gagnéBonjour à tous

Cela fait 16 mois que quelqu'un n'a pas finit seul à la première place (ça s'est toujours joué au temps...), et là, LeDino est seul !!!

Encore deux énigmes...

Posté par
jolenul
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 06-12-10 à 10:27

Bonjour et félicitations à ceux qui ont trouvé.
Certains, comme Ledino par exemple, parle dans leur réponse d'un tableur.
Moi je me suis fait un tableau (avec excel) qui faisait les calculs et me notait grace aux fonctions "logique" si il y avait une bonne réponse.
j'ai donc fait ce tableau de 1 à 15000 pour un coté, mais pour l'autre, je devais changer la variable manuellement. Je l'ai fait jusque 2500,
mais bien sur c'est long et fastidieux. J'aimerais savoir si avec le tableur en question, il est possible de faire faire ces calculs automatiquement et si oui, comment et avec quel logiciel. J'ai cherché mais rien trouvé.
Merci beaucoup si vous pouvez me renseigner.
Encore merci pour ce site et toutes ces énigmes. Joël

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 07-12-10 à 16:03

gagnéBonjour à tous,
J'ai également essayé avec un tableur, puis ça m'a pris beaucoup de temps (même sans aller jusqu'à 2500).
Finalement, j'ai fait une "moulinette" en QBasic (langage moderne s'il en est):
10 for i=1 to 10000
20 for j=i to 10000
30 if int(sqrt(i²+j²))<>sqrt(i²+j²) then 50
40 if int(sqrt(j²-i²))<>sqrt(j²-i²) then 50
45 print i;j
50 next j
60 next i
Sans réponse, j'ai choisi "impossible".
Même si ça n'est pas élégant du tout!

Posté par
caylus
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 07-12-10 à 16:39

gagnéBonjour,

Et pour éviter la querelle des anciens et des modernes...

DECLARE SUB Pause ()

CONST lim = 10000000


DIM n AS LONG
DIM t AS LONG, s AS LONG, x AS LONG, y AS LONG, z AS LONG, w AS DOUBLE
DIM mi AS LONG, ma AS LONG
CLS
OPEN "c:\224\224.txt" FOR OUTPUT AS #2
FOR n = 1 TO lim
t = INT((3 + SQR(8 * n - 7)) / 2)
s = n - (t * t - 3 * t + 2) / 2
x = 2 * s * t
y = t * t - s * s
z = t * t + s * s
IF y < x THEN
  mi = y
  ma = x
ELSE
  mi = x
  ma = y
END IF
w = 1# * ma * ma
w = w - 1# * mi * mi
w = SQR(w)
LOCATE 1, 1
PRINT n, x; y; z, mi; w; ma;
IF w - INT(w) < .00000001# THEN
  PRINT #2, mi; ma; z, mi; w; ma

  PRINT "****************"
  INPUT q$
ELSE
  PRINT
END IF


CALL Pause

NEXT n
CLOSE #2
END

SUB Pause
y$ = INKEY$
IF y$ = CHR$(27) THEN END

END SUB

Posté par
LeDino
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 08-12-10 à 17:28

gagné
totti1000 : "Cela fait 16 mois que quelqu'un n'a pas fini seul à la première place (ça s'est toujours joué au temps...), et là, LeDino est seul !!!"
En effet ça fait peur ! Peut-être qu'une erreur dans les deux dernières énigmes du mois viendra rétablir cette série en cours... Ou peut-être pas ...


Quant au (très sobre) programme basic de sanantonio, on peut l'améliorer un peu en ne s'intéressant pas à tous les couples (a,b), mais seulement à ceux dont on est sûrs qu'ils forment un triplet pythagoricien.

Pour celà on passe par le paramétrage (exhaustif) suivant : a = u²-v², b = 2uv, c = u²+v². On réduit ainsi considérablement le nombre de cas à tester : on peut facilement tester tous les cas numériques inscrits dans les limites de précision du langage utilisé (généralement, 15 chiffres significatifs environ) en limitant Umax à environ 7000...

Voici à quoi ça ressemble :

Citation :
For U = 1 To Umax
    For V = 1 To U - 1
        A = (U * U - V * V)
        B = 2 * U * V
        C = Sqr(A * A + B * B)
        D = Sqr(Abs(A * A - B * B))
        If (D - Int(D)) = 0 Then Print A, B, C, D
    Next V
Next U

Posté par
jolenul
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 15-12-10 à 11:04

Bonjour

Merci pour vos réponses.
Je ne connais pas la programmation aussi je n'ai pas tout compris, mais je vais essayer de m'y mettre et approfondir ce que vous m'avez envoyé. Encore merci pour votre aide. Joël

Posté par
jolenul
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 15-12-10 à 14:02

je viens de trouver un site (qbworld: le paradis des programmations en qbasic) qui semble bien expliquer, le problème c'est que je ne réussis pas à ouvrir qbasic. J'ai été dans démarrer, invite de commandes et je tape "QBASIC.EXE" mais la réponse est que "ce n'est pas reconnu comme commande interne ou externe".

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 15-12-10 à 19:27

gagnéSalut jolenul,
Il faut que tu le télécharges. Là par exemple:
Tu obtiendras un lot de fichiers zippés à sauvegarder dans un répertoire de ton choix.
Je te conseille une dénomination "DOS": Pas d'espace, pas plus de 8 caractères par répertoire. Donc, par exemple, ni sur le bureau, ni dans "Mes documents", ni dans "Program files".
C:\dos\Qbasic\ par exemple, c'est parfait.
Enfin, tu te fais un raccourci sur le bureau vers: C:\dos\qbasic\QB.EXE en chosissant le même répertoire comme répertoire de travail.
Et tu accèdes au fin du fin de la programmation (Ne nécessitant pas vraiment de méthode de spécification formelle du logiciel.....)

Posté par
jolenul
re : Enigmo 224 : Interrogation sur Pythagore 15-12-10 à 23:25

Rebonjour Sanantonio
Comme tu le vois j'ai eu raison de prendre ce pseudo, mais à mon époque(je suis de 49) on ne parlait pas de programmation, ce qui ne m'empêche pas d'apprécier les maths et les énigmes, même si j'ai pas mal de lacunes.
De nouveau je te remerçie pour ton aide et pour le temps que tu passes, comme  d'autres le font également.
C'est très gentil à vous tous. Bonne soirée.

Posté par
mathtle
aide 31-12-10 à 21:26

   supposons que
  a=2p+1 ( a impair) et que b=2p' (b pair)  et c=2p"+1 avec (p,p')sup0 et appartenant a  IN-(0) et quand on prend en compte l algorithme de fermat il
existe donc des solutions specifiques completement entieres ,naturelles telles que
          p=1  p'=p"=2p  et a=b-1  c=a+b-2 en fonction de ces conditions
l on obtient donc quelque soit la position de l angle droit les solution suivantes  
               a=3 b=4 c=5


              

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 147:20:54.
Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !